北师版高中数学选择性必修第一册课后习题 第3章 空间向量与立体几何 4.3 第1课时 空间中的角.docVIP

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4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系

第1课时空间中的角

1.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为2,则异面直线A1B与B1C夹角的余弦值是().

(第1题)

A.32 B.12 C.

解析:如答图,以AC的中点O为原点,建立空间直角坐标系,则A1(0,-1,2),B(3,0,0),B1(3,0,2),C(0,1,0),

(第1题答图)

所以A1B=(3,1,-2),B1

所以cosA1B,

答案:C

2.把矩形ABCD沿对角线BD折成二面角A-BD-C,若AB=1,AD=3,AC=72

A.30° B.60° C.120° D.90°

解析:过点A作AE⊥BD,过点C作CF⊥BD(图略),

则AE=32,BE=1

所以EF=1.

因为AC=

所以|AC|2=|AE|2+|EF|2+|FC|2+2|AE||FC|·cosAE,FC,且|AE|=|FC|=32

所以cosAE,FC=-

所以平面ABD与平面BCD的夹角是60°,故选B.

答案:B

3.如图,已知P为菱形ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC.F为PC的中点,则二面角C-BF-D的平面角的正切值为().

(第3题)

A.36 B.

C.33 D.

解析:设AC,BD相交于点O,连接OF,如答图.

(第3题答图)

∵四边形ABCD为菱形,

∴O为AC的中点,AC⊥BD.

∵F为PC的中点,∴OF∥PA.

又PA⊥平面ABCD,∴OF⊥平面ABCD.以O为原点,OB,OC,OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

设PA=AD=AC=1,则BD=3,∴B32,0,0,F0,0,12,C0,12,0,D-32,0,0.∴OC=0,12,0,且OC为平面BDF的一个法向量.

由BC=-32,12,0,FB=32,0,-12,可求得平面BCF的一个法向量为n=(1,3,3).∴cosn,OC=217,从而sinn,OC=277

由图形知二面角C-BF-D的平面角为锐角,

∴其正切值为23

答案:D

4.在底面为正三角形的直棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=3,点D为棱BC的中点,点E为A1C上的点,且满足A1E=mEC(m∈R),当二面角E-AD-C的平面角的余弦值为1010

(第4题)

A.1

B.2

C.12

D.3

解析:由题意知m0.以A为原点,过点A在平面ABC内作垂直于AC的直线为x轴,分别以AC,AA1所在直线为y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图.

(第4题答图)

则A1(0,0,3),C(0,2,0),B(3,1,0),D32,32,0,E0,2mm+1,3m+1,则AD=32,32,0,AE

设平面ADE的一个法向量为n=(x,y,z),

则n

令x=3,则y=-1,z=2m3,∴n=3,-1,2m3.取平面ADC的一个法向量为m=(0,0,1).由二面角E-AD-C的余弦值为1010,得|cosn,m|=1010,所以2m3

答案:A

5.在正四棱锥P-ABCD中,高为1,底面边长为2,E为BC的中点,则异面直线PE与DB的夹角为.?

解析:如答图,建立空间直角坐标系,则B(1,1,0),D(-1,-1,0),E(0,1,0),P(0,0,1),∴DB=(2,2,0),PE=(0,1,-1).

∴cosDB,PE=DB·PE|DB||PE|=2

(第5题答图)

答案:π

6.在空间直角坐标系O-xyz中,平面α过点(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0,a)(a0),若平面α与平面xOy的夹角为45°,则a=.?

解析:平面xOy的一个法向量为n=(0,0,1).设平面α的法向量为u=(x,y,z),则有-

从而3x=4y=az,取z=1,得u=a3,a4,1为平面α的一个法向量,所以|cosn,u|=1a

答案:12

7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角A-BD1-B1的平面角大小为.?

解析:如答图,以C为原点,BC,CD,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为a,

(第7题答图)

则A(a,a,0),B(a,0,0),D1(0,a,a),B1(a,0,a),

∴BA=(0,a,0),BD1=(-a,a,a),

设平面ABD1的一个法向量为n=(x,y,z),

则n·BA=(x,y,z)·(0,a,0)=ay=0,n·BD

∵a≠0,∴y=0,x=z.

取=(1,1,0).

∵cosn,m=n·m|

而二面角A-BD1-B1为钝角,故为120°.

答案:120°

8.如