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7。4互斥事件及其发生的概率

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三点剖析

一、互斥事件

1．互斥事件的定义：不能同时发生的两个事件称为互斥事件

例如，在一个盒子里放有大小相同的10个小球，其中有7个红球，2个绿球，1个黄球.从盒中摸出1个小球得到的结果可能是红球，也可能是绿球或黄球，并且只能是其中一种情况。

我们把“从盒中摸出1个小球,得到红球”叫做事件A，“从盒中摸出1个小球,得到绿球”叫做事件B，“从盒中摸出1个小球，得到黄球”叫做事件C,那么这里的事件A、事件B、事件C中的任何两个是不可能同时发生的.事件A与事件B、事件B与事件C都是互斥事件.

从集合的角度来看，事件A与事件B是互斥事件，则事件A所包含的基本事件构成的集合与事件B所包含的基本事件构成的集合的交集是空集.

2．互斥事件有一个发生的概率

设A、B为互斥事件，当事件A、B有一个发生时，我们把这个事件记作A+B．事件A+B发生的概率等于事件A、B分别发生的概率的和，即P（A+B）=P(A）+P（B），此公式也称概率和公式。

例如上例中“从盒中摸出1个小球，得到红球叫做事件A，则P(A）=0.7；“从盒中摸出1个小球，得到绿球”叫做事件B,则P（B)=0.2．若记“从盒中摸出1个小球,得到红球或绿球”为事件D，则D=A+B，此时P(D）=P（A）+P（B）=0.7+0。2=0.9.

3．一般地,如果事件A1，A2，…，An中的任何两个都是互斥事件，就说事件A1，A2,…,An彼此互斥.从集合的角度看，几个事件彼此互斥是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此没有公共元素，即两两交集都是空集.

一般地，如果事件A1,A2，…，An两两互斥，则P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P(A2）+…+P（An）.

二、对立事件

对立事件的定义:两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件。事件A的对立事件记为A．从集合的角度看，由事件A的对立事件A所含的结果组成的集合是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.此时，事件A和它对立事件的交集为空集，而并集为全集。

若对立事件A与必有一个发生，则A+是必然事件，从而P（A)+P()=P（A+）=1.

由此我们可以得到一个重要公式:P（）=1—P（A）。

由此可知，当从正面求一个事件的概率比较困难时，可以通过求其对立事件的概率来求解.

例如，一枚硬币连掷3次，则出现正面的概率是多少？

此题若从正面分析则有以下三种情况：三次都是正面;二次正面一次反面；一次正面二次反面。虽然它们是互斥事件，可以利用互斥事件有一个发生的概率公式来求解，但解题比较复杂。如果考虑其反面利用对立事件的概率来求解，则简单得多.

解：出现正面的对立事件是出现的三次都是反面,由于三次都是反面的概率为，则出现正面的概率为=.

三、互斥事件和对立事件的区别与联系

两个事件若对立则必然互斥，且必有一个事件发生。因此，两个事件是对立事件需满足两个条件：①互斥，②两个事件中必有一个发生.两个事件若是对立事件则一定是互斥事件，但若是互斥事件则不一定是对立事件。

四、互斥事件有一个发生的概率的求解步骤

（1）确定这些事件是互斥事件；

(2）这些事件有一个发生;

(3）分别求每一个事件的概率，再相加。

前两条是使用互斥事件有一个发生的概率的概率和公式的前提条件，如果不符合这一点就不能用概率和公式.

问题探究

问题1：某人把外形相似的4把钥匙串在一起，其中两把是房门钥匙，但他忘记了开房门的是哪两把，只好逐把试开，试后不放回。请你探究思考如下的问题：（1）此人一次就能打开房门的概率是多少？（2)此人在两次内能打开房门的概率是多少？

探究：第(1)问显然是古典概型，每次拿哪把钥匙是等可能的,因此，此人一次就能打开房门的概率是。在第（2）问中，记“恰好第i次打开房门”为事件Ai(i=1,2），显然题设事件A=A1+A2.

A1表示第1次打开房门的事件，A2表示第1次未打开，第2次打开房门的事件。

对事件A1来说，其概率已由第（1）问求出来，但对事件A2来讲,用我们现有的知识不容易求出，因而用这种方法做有一定难度。

不妨换个角度来想,从反面入手,如果把“在两次内能打开房门”记为事件,则对立事件A就表示“在两次内不能打开房门”.

设a、b、c、d分别表示四把钥匙,其中a、b表示能打开房门的那两把钥匙，显然，共有24种基本事件，它们分别为

a,b,c,d