1.1.2 空间向量数量积的运算-(选择性必修第一册) (教师版).docx

空间向量数量积的运算

1空间向量的夹角及其表示

已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作?OA=a,OB

若a,b=π

2向量的模

设OA=a，则有向线段?OA

3向量的数量积

已知向量a,b，则|a|

即a

4空间向量数量积的性质

a⊥b

5空间向量数量积运算律

①

②a?

③a

④不满足乘法结合律:a

【题型一】数量积的运算

【典题1】如图，在三棱锥A?BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，M,N分别是AD、BC的中点，则AN?CM=

【解析】在三棱锥A?BCD中，连结ND，取ND的中点为E，连结ME，则ME//AN，

异面直线AN,CM所成的角就是∠EMC

∵AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M,N分别是AD、BC的中点，

∴AN=22

又∵EN⊥NC,∴EC=N

cos?

由图可知，AN与CM所成角为钝角，则cos??

∴AN

故答案为：?7．

【典题2】已知四面体ABCD，所有棱长均为2，点E,F分别为棱AB,CD的中点，

则AF?

A．1 B．2 C．?1 D．?2

【解析】∵四面体ABCD，所有棱长均为2，∴四面体ABCD为正四面体，

∵E,F分别为棱AB,CD的中点，

∴AF

=1

故选：D．

【点拨】求空间向量数量积，第一个念头是利用定义a?b=|a|b|cosa,b；但若两个向量的模或其夹角其一交难求解，可把所求向量的数量积转化为其他具有较多性质向量的数量积，比如本题把AF

巩固练习

1(★)平面上有四个互异点A、B、C、D，已知(DB+DC+2

A．直角三角形 B．等腰直角三角形

C．等腰三角形 D．无法确定

【答案】C

【解析】∵((DB

∴(AB+AC)?(AB

则△ABC的形状是等腰三角形．故选：C．

2(★)在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=1，AB?CD

A．?1 B．0 C．1 D．不确定

【答案】B

【解析】根据题意，AB?

故选：B．

3(★★)如图，在三棱锥P?ABC中，AP,AB,AC两两垂直，AP=2，AB=AC=1，M为PC的中点，则AC?BM的值为

【答案】12

【解析】由题意得BM=

故AC?

4(★★)在棱长为1的正四面体ABCD中，点M满足AM=xAB+yAC+(1?x?y)AD，点N满足DN=λ

【答案】?1

【解析】∵AM=xAB

∴M∈平面BCD，N∈直线AB，

当AM,DN最短时，AM⊥平面BCD，DN⊥AB，

∴M为△BCD的中心，N为线段AB

如图：

又正四面体的棱长为1，∴AM=6

∵AM⊥平面BCD，∴AM

∴AM

=1

5(★★★★)已知三棱锥P?ABC的顶点P在平面ABC内的射影为点H，侧棱PA=PB=PC，点O为三棱锥P?ABC的外接球O的球心，AB=8，AC=6，已知AO=λAB+μAC+11+

【答案】150π

【解析】由于三棱锥P?ABC的顶点P在平面ABC内的射影为点H，

O为球心，OA=OB=OC=OP=R，

即有PH⊥AB,PH⊥AC，∴HP

由AO=λAB

则有AO?AB=λAB

同理对①两边取点乘AC，可得18=36μ+λAB?

又μ+λ=1④

由②③④解得，λ=12,μ=

即有AO?

即为AH

又AO2

即R2=

又在直角三角形AOH中，R2=(HP?R)

由⑤⑥解得R2

则有球O的表面积S=4πR

【题型二】数量积的应用

【典题1】如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知AB=2，AC=3

【解析】

方法一如图过点A作AE//BD，过D作DE//AB，则易得∠CAE=60°，

在?CAE中，C

在Rt?CED中，CD

方法二如图，CD

CD

=

=

=9+4+16+2×4×3×cos120°

=17

∴CD的长为17．

【点拨】

①a⊥

②方法一利用了二面角的概念和平几的知识进行求解，方法二直接利用向量的运算显得更简洁，也体现了向量的威力！

【典题2】已知：正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E、F、G、H分别是四面体ABCD中各棱的中点，求EF，GH的夹角．

【解析】(1)如图所示，

正四面体ABCD的棱长为1，E、F、G、H分别是四面体ABCD中各棱的中点，

设AB=

∴BE=1

∴EF

同理可得GH=

∴EF

=1

∴EF与GH的夹角为90°

巩固练习

1(★★)在平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)ABCD?A1B1C1

【答案】6

【解析】∵

则A

=1+1+1+3×2×1×1×cos60°=6．

∴|A

2(★★)如图，三棱锥O－ABC各棱的棱长都是1，