1.3 建立空间直角坐标系和确定点坐标的方法-(选择性必修第一册) (教师版).docx

建立空间直角坐标系和确定点坐标的方法

1空间向量的直角坐标系

(1)空间直角坐标系中的坐标

在空间直角坐标系O?xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使OA=xi+yj+zk，有序实数组(x,y,z)叫作向量

(2)空间向量的直角坐标运算律

①若a=(a1

则a+b=

λa

a?

a

a⊥

②若Ax1,

③模长公式

若a=(a1

④夹角公式

cos

?ABC中

⑤两点间的距离公式

若A(

则|

或d

2建立直角坐标系的方法

(1)利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系

(2)利用线面垂直关系构建直角坐标系

(3)利用面面垂直关系构建直角坐标系

3确定空间直角坐标系中点坐标的方法

求点的坐标和设点坐标的方法是一致的，常见方法具体如下

(1)射影法

看所求点分别在x,y,z轴的投影对应的数值.

如求点P横坐标x，过点P作PP1⊥平面xoy，再过点P1作P1

或直接构造长方体OP，即求出线段P1P3

一般地，点在平面xOy、xOz、yOz或易得点在x、y、z轴的投影均适合射影法；

(2)公式法

对中点、n等分点、重心等点可用公式求解；

若点Ax

则线段AB的中点坐标(x1+x2

点P在线段AB上且AP=λPB，则P(x

(3)向量法

(i)利用平行、垂直关系求某向量的坐标，再求点坐标；

(ii)利用三角形法则或平行四边形法则，求出某向量的坐标，再求点坐标；

(iii)三点共线问题：如若点Ax1,y1,z1,Bx2

(4)几何法：把空间问题转化为平面问题，常见于利用相似三角形的性质.

(5)待定系数法：设点P(x,y,z)，利用已知条件求出x,y,z.

(6)函数法：常用于设动点坐标；

动点P(a,b,c)在定直线AB上，把AB投影到空间坐标系中某个平面，如投影平面xoy，得到投影直线AB方程，从而达到动点P投影P(a,b)中a,b的关系.

以上的方法其实也是相通的，也还存在其他一些灵活的处理方法(比如平移法等)，都需要理解再灵活运用.

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【题型一】建立直角坐标系的方法

利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系

【典题1】如图，已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1=2，底面ABCD是直角梯形，∠A为直角，AB∥CD，AB=4

【解析】易得DA、DC、DD1三线两两垂直，

如图，以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为

(后面解析省略)

利用线面垂直关系构建直角坐标系

【典题2】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1

【解析】AB⊥侧面BB1C1C而BC与BB1不垂直，原图没三条两两垂直直线，此时在平面B

如图，以B为原点，分别以BD、BB1、BA

(后面解析省略)

利用面面垂直关系构建直角坐标系

【典题3】如图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值．

【解析】取AD的中点O，连接VO，∵?VAD是正三角形，∴VO⊥AD

又∵平面VAD⊥底面ABCD∴VO⊥平面ABCD

则以点O为原点，分别以OA、OV所在直线为x、z轴，以过点O作AD的垂线所在直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

【点拨】

①同一道题目中建系的方法不是唯一，是优是劣取决于关键点的坐标是否好求；

②建系最根本的想法是找到两两垂直的三线，多关注题中有垂直关系的量，

(1)垂直关系：长方体模型、等腰三角形的三线合一、菱形对角线相互垂直等；

(2)若有线面垂直，则可考虑该面为平面xOy、xOz、yOz之一；

(3)若有面面垂直，则可考虑两面为平面xOy、xOz、yOz其中两个.

③若是分别以OA、OB、OC所所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则要先证明OA、OB、OC三线两两垂直，需要严谨些，不能想当然.

巩固练习

1(★)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1=A1C1，

【答案】以D为原点，分别以BD、DA、DF所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.

2(★★)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，如何建立空间直角坐标系呢？

【答案】以O为原点，分别以OB、OA、OP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.

3(★★)如图，三棱锥V－ABC的侧棱长都相等，底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，如何建立空间直角坐标系呢？

【答案】取AC中点E，以E为原点，分别以EB、EC、EV所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.

【题型二】确