2.2 基本不等式 -(必修第一册) (学生版).pdf

基本不等式

1基本不等式

若0,0，则+≥2(当且仅当=时，等号成立).

+

①2叫做正数,的算术平均数，叫做正数,的几何平均数.

②基本不等式的几何证

(当点、重合，即=时，取到等号)

③运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等.

一正指的是0,0；二定指的是是个定值，三等指的是不等式中取到等号.

2基本不等式及其变形

2+2+2

≤≤≤(当且仅当=时等号成立)

1122

+

(调和均值≤几何均值≤算术均值≤平方均值)

以上不等式把常见的二元关系(倒数和，乘积，和，平方和)联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用.

①+≥2，积定求和；

+2

②≤(2)，和定求积：

22(+)222

③+≥2(联系了+与平方和+)

22

+22

④≤2(联系了与平方和+)

3对勾函数

①概念形如=+(0)的函数.

②图像

③性质

函数图像关于原点对称，

在第一象限中，当0时，函数递减，当时，函数递增.

④与基本不等式的关系

0==2

由图很明显得知当时，时取到最小值，

+≥2∙=2(=)

其与基本不等式时取到最小值是一致的.

【题型一】对基本不等式“一正，二定，三等”的理解

情况1一正：,

1

求函数=+(0)的最值.

情况2二定：定值

1

求函数=+−1(1)的最值.

情况3三等：取到等号

2

+5

求函数=2的最值.

+4

【题型二】基本不等式运用的常见方法

方法1直接法

111

【典题1】设0、0、0，则三个数+4、+4、+4()

．都大于4