3.5.1 二次方程根的分布问题-(必修第一册) (教师版).docx

二次方程根的分布问题

1概念

二次方程ax2+bx+c=0的根(即二次函数

2常见题型

①两根与k的大小比较(以a0为例)

分布情况

两根都小于k，

即x

两根都大于k，

即x

一根小于k，一根大于k，即x

大致图像

得出的结论

?0

?0

f

②两根分别在区间(m,n)外

a

a0

大致图像

得出的结论

f

f

③根在区间上的分布(以a0为例)

分布情况

两根都在(m,n)内

两根有且仅有一根在(m,n)内

一根(m,n)内，

另一根在(p,q)内

大致图像

得出的结论

?0

f

fm0

【题型一】两根与k的大小比较

【典题1】若关于x的二次方程mx2+2m?1x?m+2=0(m0)的两个互异的实根都小于1，则实数

【解析】∵关于x的二次方程mx2+

则m0△=(2m?1)2

(m0开口向上，?0有两根，1?2m2m1对称轴在

f10确定最大根小于

即m0m3?7

即m的范围为(3+74，+∞)，故答案为：(

【点拨】思考下，要确保题意成立，(?)中满足的四项分别属于二次函数的什么性质呢？不要其中一项是否可以，又为什么呢(结合图像)？确定仅满足这四项就行了么？

这属于对题意的必要性与充分性的思考，做到“等价转化”！

【典题2】已知二次方程2m+1x2?2mx+m?1

【解析】方法一

当2m+10时，若要满足题意，必须f0

当2m+10时，若要满足题意，必须

即2m+1f00?

方法二：(韦达定理)

设x1,x

若要满足题意，则?=4m

解得?1

【点拨】对于一些特殊根的分布问题，我们可灵活采取其他的方法.

【题型二】根在区间上的分布

【典题1】已知关于x的二次方程x2

(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，则m的范围是．

【解析】设f(x)=

问题转化为抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，则

故m的范围是(?5

【点拨】需要考虑对称轴位置么？需要讨论判别式?么？

【典题2】方程mx2?(m?1)x+1=0在区间(0,1)内有两个不同的根，则m的取值范围为

【解析】构造函数fx=m

(能发现f0=1很重要，要满足题意只能m0，避免讨论

∵方程mx2?(m?1)x+1

∴m0

【典题3】已知方程x2?2a+1x+a(a+1)=0的两根分别在区间(0,1)，(1,3

【解析】方法1

方程x2－

若要满足题意，

则f

故答案是(0,1).

方法2方程x2－

(发现方程可以直接因式分解求根)

∴方程两根为x1

若要满足题意，则0a11a+13，解得0a1

故答案是(0,1).

【点拨】显然方法2比方法1更简洁些，主要是因为它能通过因式分解求出的根形式简洁！那前面的例题是否都不可以先求出根再求解呢？

我们拿本题型中的典题2看看，很难直接因式分解，利用求根公式得x1

x2=m?1?m2

其中还要注意m2?6m+10和m0

在方法的选取上，我们要清晰方法的适用范围！

【题型三】两根分别在区间(m

【典题1】已知关于x的方程ax2+x+2=0的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a

【解析】显然a≠0，关于x的方程ax

(对开口方向进行讨论，分a0和a

①若a0，即图象开口向上，

ax2+x+2=0的两个实根一个小于0，另一个大于1

即20且a+30，则a∈?；

(若发现f0=2结合图像也可知a

②若a0，即图象开口向下，

ax2+x+2=0的两个实根一个小于0，另一个大于1

即20且a+30，则－3a0．

综上可得a的范围是(－3,0)．

故答案为：(－3,0)．

【方法总结】

①求解二次方程根的分布问题，最重要是数形结合做到“等价转化”;多画图思考：图像要怎么画才能满足题意，怎么画就不满足题意，它们之间的区别在哪里？

②画图时注意二次函数四大因素--开口方向，对称轴，判别式，特殊点.

备注：特殊点是指含参的二次函数过的一些定点(比如与x,y轴的交点)或某些函数值的正负.

③对于一些特殊情况，还可以利用韦达定理、因式分解求出根再求解等方法.

巩固练习

1(★)已知关于x的方程x2+kx+k2+k－4=0有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数

【答案】(?3,0)

【解析】令fx=x

即：22+2k+k2+k－40

所以实数k的取值范围为(－3,0)；

故答案为：(－3,0)．

2(★)方程x2?2?ax+5?a=0的两根都大于2，则实数

【答案】?5a≤?4

【解析】由题意，方程x2－(2－a)x+5－a=0的两根都大于

令f(x)=x

可得：△≥0f(2)02?a2

解得：－5a≤－4．

3(★★)若方程7x2?m+13x?m?2=0的一个根