5.5 三角函数和差角公式 -(必修第一册) (教师版).docx

三角函数和差角公式

1两角和差的正弦，余弦与正切公式

(理解公式的推导，体会其方法，而不死背公式)

①余弦两角和差公式

cos

推导如下

如图，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1,0)，以x轴为非负半轴为始边作角α，β，α?β，它们的终边分别与单位圆相较于点P1cosα,sinα，A1cosβ,sinβ，Pcosα?β,sinα?β，连接A1P1，AP，若把扇形OAP绕点O旋转

根据两点间的距离公式，得

cos

化简得

cos

而

cos

②正弦两角和差公式

sin

推导如下

sin

=

=sinαcosβ+cosαsinβ

sin

=

=sinαcosβ?cosαsinβ

③正切两角和差公式

tan

(由S(α±β)、C(α±β)可推导正切的和差角公式)

对公式中α、β的理解，他们可表示为一个数字、一个字母，甚至一个式子

Eg：①

对应公式sinα±β=sinαcosβ±cosαsinβ，把

②cos

对应公式cosα+β=cosαcosβ?sinαsinβ，把α看成字母x，β

③tanπ

对应公式tanα+β=tanα+tanβ1?tanαtanβ，把

对应公式的运用，注意整体变换的思想.

2辅助角公式

asin

其中tanφ=b

熟记两个特殊角的化简过程

a:b=1:1型，配π

sinx±cosx=

a:b=3:1

sinx±

3

?

【题型一】和差角公式的基本运用

【典题1】计算sin25°sin70°

【解析】sin

=sin25

=sin(

=sin

=

【典题2】tan27°+tan33

【解析】∵tan

∴

∴tan

∴tan

【点拨】由tanα+β

tanα+tanβ=tan

tanα+tanβ+tanαtanβtan

【典题3】若α,β∈(?π2,π2)，且

【解析】由已知可得tanα+tanβ

∴tan(α

∵α,β∈(?π2,π

∴α,β∈

∴α

【点拨】注意考虑角度的范围.

【典题4】已知sinα?sinβ=?13

【解析】已知两等式分别平方得sinα－sinβ2=

cosα+cosβ2=cos

①+②得：2+2(cosαcosβ?sinαsinβ)=13

即cosαcosβ?sinαsinβ=?

则cosα+β

【典题5】设0βαπ

A．2α+β=π2 B．2α?β=π2 C．a+2β=

【解析】由题意知，tan(α－β)+tanβ=1

即sin(α?β)cos(α?β)

等式两边同乘以cos(α－β)cosβ，得sin(α－β)cosβ+cos(α－β)sinβ=cos(α－β)，

所以sinα=cos(α－β)，

即cos(π

又0βαπ

所以π2?α∈(0,π

所以π2?α=α－β，所以

故选：B．

【点拨】遇到含正切与正弦余弦的等式，可采取“切化弦”的方法.

【典题6】在△ABC中，tanA+tanB+3=3tanAtanB，sinAcosB=34，则

【解析】∵tanA+tanB+3

∴tan(A+B)

∴tanC=3，∴C=π3

又sinAcosB=3

∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=3

∴cosAsinB=34，

∴A=B，

∴△ABC为等边三角形.

【点拨】在三角形△ABC中，sinC=sin?(A+B)

巩固练习

1(★)sin80°

【答案】12

【解析】sin

=cos(50

2(★)若sinα=35，且α∈(π2

【答案】17

【解析】若sinα=35，且α∈(π

所以tanα=sinα

所以tan(α+

3(★)已知：α,β均为锐角，tanα=12，tanβ=13，则

【答案】π4

【解析】由于α，β均为锐角，tanα=1

所以0α+βπ

所以tan(α+β)=tanα+tanβ

所以α+β=π

4(★★)在△ABC中，cosA+sinA=15，则tan(A?π

【答案】7

【解析】因为△ABC中，cosA+sinA=1

∴cos

∴cosA0；

cosA=?1?si

∴cosA=?35，(

故sinA=45；

∴tan(A?

5(★★★)设α=70°，若β∈(0，π2)，且tanα=1+sinβ

【答案】

【解析】由tanα=1+sinβ

sinαcosβ

因为β∈(0,π2)，α=

由