专题3-2 圆锥曲线中的三角形面积-(选择性必修第一册) (教师版).docx

圆锥曲线中的三角形面积

圆锥曲线中三角形面积的求法

①焦点三角形面积

椭圆x2a2+y

双曲线x2a2?y2b

②直线与圆锥曲线中的三角形面积(以下以椭圆为例)

(1)S?

如图，S?PAB=12?AB?PC

(2)S?

(3)拆补法，适合三角形某一顶点在坐标轴上的题型；

情况1如图，点P在x轴上，直线AB交x轴于点C，

当A,B是在x轴异侧时，

S

当A,B是在x轴同侧时，

S

注:不管A,B在x轴同侧还是异侧，公式S?PAB

若点P在y轴类似可得S?PAB

情况2如图，点P在x轴上，直线AB的倾斜角为θ，

当AB是在x轴异侧时，

S?PAB

当AB是在x轴同侧时，

S?PAB

注:不管A,B在x轴同侧还是异侧，公式S?PAB=1

【典题1】设双曲线C：x2?y2b2=1(a0,b0)

且F1P⊥F2P．若△PF

【解析】方法一由题意可知a=1，

设|PF2|=m,|P

∵△PF1F

(遇到焦点三角形△PF

∵F

∴

∴e=c

方法二由双曲线焦点三角形面积公式S=b2tan∠P

由题意可知b2tan45°

又∵a=1，∴c=5，∴e=

【典题2】已知直线l与双曲线E:x2a

B(x2,y2)两点，且x1x20，若

【解析】∵OA

∴

∴tan∠AOB=?3

故∠AOx=60°,又直线OA方程为y=

∴ba=tan60°=

∴e=c

【点拨】本题对“OA?OB=?4

而△AOB的面积用到

【典题3】已知双曲线x2a2?y2b

的直线l交双曲线于A、B两点，F

(1)求双曲线的方程；

(2)若△F1AB的面积等于6

【解析】(1)过程略，x2?

(2)方法一设A

当直线l的斜率不存在，则直线l的方程x=2，

此时易得S△

故可设直线l的方程为y=k(x?2)，

由y=k(x?2)x2?

∵有两个交点，∴k≠±3，

∴

∵F1(?2,0)到直线l

∴△F1AB

(利用三角形面积公式S?

∴k4

∴所以直线l的方程为y=±(x?2)．

方法二设A(

同方法一可得：k≠±3，

∴|y

∴△F1AB

(由于点F1在x轴，利用S=

化简得k4+8k2

得直线l的方程为y=±(x－2).

【点拨】

①注意分类讨论直线l的斜率是否存在；

②因为直线过双曲线内的点，故不要看判别式?是否大于0，但要注意k2

③第二问方法一是利用三角形面积公式S?=12×底×高，得S=12?AB?d

【典题4】过抛物线C：y2=2px(p0)的焦点F且倾斜角为π3的直线交抛物线于A、B两点，交其准线于点C

(1)求抛物线C的方程；

(2)直线l交抛物线C于D、E两点，且这两点位于x轴两侧，与x轴交于点M,若OD→?OE→=4

【解析】(1)过点A作抛物线准线的垂线，垂足为A1，过点B作准线的垂线，垂足为

设准线与x轴交于点G，如图所示，

∵∠AFx=∠CB

∴BB

∴BF=1，又点F为AC的中点，

∴AF=CF=BC+BF=3，

∴|GF|=12|A

所以抛物线C的方程为y2

(2)设D(x1,y

lDE：x=my+t

联立得方程组x=my+ty2=3x

∴y

∴OD

(曲线代换：利用抛物线方程消“x1

∴y1y

∴－3t=－12，∴t=4，

∴

=3

(当且仅当198y1

∴S△DFO+

【点拨】在抛物线上设直线方程为lDE：x=my+t较为常见，同时也配合上三角形面积S

【典题5】已知A、B是椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左，右顶点，B(2,0)，过椭圆C的右焦点F的直线交椭圆于点M,N，交直线x=4于点P，且直线PA、PF、PB的斜率成等差数列，R和Q是椭圆上的两动点，R和

(1)求椭圆C的方程；(2)求△MNT

【解析】(1)由题意知a=2，A(?2,0)，设P

∴

依题意可知2y04?c=

∴椭圆C的方程x2

(2)设Rx

∵R和Q的横坐标之和为2，∴x

∵R、Q均在椭圆上，∴x124

①?②得y1

设T(t,0)，由中垂线性质得TR=TQ，即t?x

化简得2t=2+y

∴t=14，即

设Mx

直线MN:x=my+1与椭圆联立可得3m

∴y

(因为直线MN过椭圆内一点F，故m可取全体实数R，不需要考虑判别式?0)

∴y

令n=m

则y

∵y=9n+1n在[1,+∞)是递增的，

(由对勾函数图像易得，由于n∈[1,+∞)不能用基本不等式)

∴y3?

故Smax

【点拨】

①“R和Q的横坐标之和为2”这条件可想到“中点弦问题”的点差法，避免设直线RQ方程导致计算量增大；

②本题最重要的想法是求△MNT的面积，用到了公式S=12?FT?y3?y4

④求函数形如y=a

巩固练习

1(★★)设F1,F2是椭圆x29+