概率论与数理统计教学课件4.1数学期望.ppt

*概率论与数理统计第四章、随机变量的数字特征第四章、随机变量的数字特征前面两章讨论了随机变量的分布函数，我们知道分布函数能够完整的描述随机变量取值的统计特征。但在一些实际问题中，不需要全面考察随机变量的变化情况(有时分布函数也是很难获得的)，而只需要知道随机变量的某些特征就足够了(如知道了班级的平均成绩和成绩的分散程度就可以大致了解教学方法的质量效果).本章就来介绍随机变量的一些重要特征：数学期望、方差、相关系数和矩。概率论与数理统计第四章、随机变量的数字特征本章主要内容数学期望方差协方差和相关系数炬协方差矩阵二维正态分布§4.1数学期望概率论与数理统计§4.1、数学期望一、离散型随机变量的数学期望定义1设X为离散型随机变量，其分布律为如果级数绝对收敛，则称该级数为随机变量X的数学期望，记作EX。如果级数不是绝对收敛，则称随机变量X的数学期望不存在。概率论与数理统计§4.1、数学期望[注]1）随机变量X的数学期望是一个常量.即EX=常数，而不是函数.绝对收敛的级数的和.2）离散型随机变量的数学期望是一个例1若X～求EX.例2设随机变量X服从二项分布，求EX.二项分布的数学期望是两个参数的乘积.概率论与数理统计§4.1、数学期望例3设随机变量X～,求EX。泊松分布的数学期望等于参数。例4设随机变量X的概率分布为则EX不存在.概率论与数理统计§4.1、数学期望二、连续型随机变量的数学期望定义2设X～，如果广义积分绝对收敛，则称该积分为随机变量X的是绝对收敛，则称随机变量X的数学期数学期望，如果广义积分不望不存在。也就是说,连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分.概率论与数理统计§4.1、数学期望例5求均匀分布的数学期望。均匀分布的数学期望等于区间的中点。例6求指数分布的数学期望。指数分布的数学期望等于参数的倒数。概率论与数理统计§4.1、数学期望例7求正态分布的数学期望。正态分布的数学期望等于第一个参数。例8求柯西分布的数学期望。柯西分布的数学期望不存在。概率论与数理统计§4.1、数学期望三、二维随机向量的数学期望定义3设二维随机向量(X，Y)，如果EX及EYE(X，Y)=（EX，EY).机向量的(X，Y)的数学期望，记作存在，则称二维向量(EX，EY)为二维随[注]1)若(X,Y)的联合概率分布律为：概率论与数理统计§4.1、数学期望2)若（X,Y）的联合密度函数为例9设(X,Y)的密度函数为求E(X),E(Y).概率论与数理统计§4.1、数学期望四、随机变量函数的数学期望定理1设随机变量Y是随机变量X的函数且EY存在，则(1)若随机变量X是离散型的,（2）若随机变量X是连续型的，且X～则且若X～概率论与数理统计§4.1、数学期望[注]（1）定理1的证明比较烦琐，故略去。（2）定理1告诉我们：在求随机变量函数的数学期望时，使用此定理比较方便。不必先求出随机变量函数的分布，再求函数的数学期望。可直接使用定理1的两个公式。概率论与数理统计§4.1、数学期望例10设随机变量X服从二项分布，求例11设随机变量X~,求例13设X服从参数为λ泊松分布，例12设X服从参数为λ指数分布，概率论与数理统计§4.1、数学期望定理2设(X,Y)是二维随机向量，则随机变量Z=g(X,Y)是二维随机向量(X,Y)的函数，1)若(X,Y)的联合概率分布律为：2）若(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)概率论与数理统计§4.1、数学期望例13设随机变量X与Y相互独立，密度函数分别为：求随机变量Z=X+Y的数学期望。五、数学期望的性质1.设C是常数，则。2.设X是一个随机变量，C是常数，则3.E(X±Y)=E(X)±E(Y)。4.设X、Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y)。注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y独立概率论与数理统计§4.1、数学期望*