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基于数学本质学习的“基本不等式”微专题教学设计

摘?要：文章是高三二轮复习中“基本不等式”的教学微专题设计，精选例题及变式，使学生灵活使用基本不等式求最值问题。以提升解决数学问题为出发点，让学生更加准确地把握数学本质及其内在联系，加深对数学思想方法的理解和认识。

关键词：微专题；教学设计；基本不等式

一、关于数学本质的理性认识

不少数学教师会感慨一节课时间太短，尽管备课充足，但由于客观因素的影响，课堂效果仍然不尽如人意，学生也埋怨课堂教学信息量太大，难以消化吸收。然而，在实际教学中，微专题的利用，可以使这一现状获得改善，增强课程的讲授效果和针对性，但是，要想真正解决这一困局，还需要更多的努力和改进。在教学设计中，阐明数学教育的本质是解题的关键，数学本质是一种共同的稳定属性，是事件变动中保持稳定的特征。所以数学本质指的是数学学科的实质，它决定了数学学科的性质、面貌和发展，换句话说，它是数学内容的本真意义，是数学学科发展的基石。

“数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的。”如何通过教学设计，使数学核心素养落实到课堂中，是数学学科教研的重要课题。本文是以一节高三数学二轮微专题课为例，对“基本不等式”这一重要内容的微专题教学设计的探索。

二、基于数学本质的课堂建构路径

本专题教学目标：借助数学小故事，结合具体情境，引入基本不等式≤（a≥0，b≥0），了解其结构特征，通过具体实例和适当训练，能够灵活运用基本不等式解决最值问题。本专题内容，以基本不等式的生成为起点，关注数学的内在联系和思想方法，注重学生思维能力的培养，能把握数学本质，提升解决实际问题的能力，能够灵活使用基本不等式解决最值问题。本专题设计分两部分：第一部分：利用基本不等式求最值，通过一道错题呈现引起学生对基本不等式运用过程中细节的重视，进而通过三个变式，强化一正、二定、三相等这三个要素；第二部分：二元及多元问题的常见处理方法，如消元法，主要含代入消元法、换元消元法（双换元、三角换元等）、构造消元法（齐次式），待定系数法及“1”的代换等，以加强学生对基本不等式的灵活应用。

（一）知识回顾引出数学本质

1.基本不等式：≤

（1）基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0。（2）等号成立的条件：当且仅当a=b时取等号。（3）其中正数a，b的算术平均数为，正数a，b的几何平均数为。

2.几个重要的不等式

（1）a2+b2≥2ab（a，b∈R），当且仅当a=b时取=。（2）ab≤

（a，b∈R），当且仅当a=b时取=。（3）+≥2（a，b同号），当且仅当a=b时取=。（4）ab≤

≤。（5）≤≤≤（a≥0，b≥0）。

3.利用基本不等式求最值

已知x≥0，y≥0，则（1）若积xy是定值p，则当且仅当x=y时，x+y有最小值是2。（简称：积定和最小）（2）若和x+y是定值s，则当且仅当x=y时，xy有最大值是。（简称：和定积最大）

细节强调：①在利用基本不等式求最值时：“一定，二正，三相等”，分别指使用条件，式子结构，取等要求，忽略任一条件，就会导致出错。②在利用基本不等式求最值时，尽可能避免多次使用，如必须多次使用，需关注取等条件，条件一致时方可传递。

设计意图：通过提问已经学习的基本不等式的相关内容，帮助学生回忆基本不等式的内容，理清知识间的关系，形成知识的框架和体系。同时为后面的例题和练习提供基本的公式参考，揭露基本不等式的本质应用即求最值问题。

（二）课堂导入探寻数学本质

引例：函数f（x）=lgx，若0ab且f（a）=f（b），求a+2b的取值范围。p=

错解呈现：由f（a）=f（b）得0a1b，=b，所以a+2b=a+≥2。p=

师：本题解法有错吗？如果有，错在哪里？

生（预设）：取等条件不满足0a1。p=

设计意图：使用基本不等式时要检验取等条件。等号取不到该怎么办？这时可以通过函数求导等手段求最值；通过错题重现强化对基本不等式的認识以及如何利用基本不等式准确求得最值。大多数学生可能无法完全理解复杂的理论知识，需要教师的充分指导，对此，教师需要积极鼓励学生针对课堂教学主要内容进行深入分析研究，在小组内部共同研究相关课题或相关教学内容，了解基础不等式例题的计算过程，认真分析例题的主要要求以及相关内容，查找例题中的核心要素，提取相应的学科知识点。

（三）知识应用巩固数学本质

例1：求函数f（x）=x+（x0）的值域。

例2：函数已知x2，则x+的最小值是（??）。

A.2??B.4??C.2??D.6

例3：已知函数f（x）=（a∈R），若对任意的x∈N*，f（x）≥3恒成立，则a的取值范围是________。

例4：求a2++