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3.4曲线与方程(练习)解析
一.单项选择题:(每小题5分,共6小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的.)
1.下列各对方程中,表示相同曲线的一组是
A.与B.与
C.与D.与
【答案】C
【解析】选项A,表示直线,不表示直线,所以表示不同曲线;
选项B,表示点,表示两条直线和,所以表示不同曲线;选项C,与都表示双曲线;
选项D,中,而中,表示不同曲线.故选C.
2.已知动点到直线的距离是它到点的距离的倍,则动点的
轨迹方程为
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】因为点到直线的距离是到点的距离的2倍,
所以,化简得,.
即动点的轨迹方程为.故选B.
3.设定点、,动点满足条件,则点的
轨迹是
A.椭圆 B.线段 C.椭圆或线段 D.不存在
【答案】C
【解析】因为,所以,所以,
当时,点的轨迹为线段;
当时,点的轨迹为椭圆.故选C.
4.“点在曲线上”是“点到两坐标轴距离相等”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】由“点在曲线上”一定能推出“点到两坐标轴距离相等”,故充分性成立;
当“点M到两坐标轴距离相等”时,点不一定在曲线上,此时,点也可能在曲线上,故必要性不成立.故选A.
5.已知,为两个不相等的非零实数,则方程与所表示的曲
线可能是
ABCD
【答案】C
【解析】由题意知:,
当时,为焦点在轴上的椭圆,是过一、二、三象限的直线,故选项A不可能;
当时,为焦点在轴上的椭圆,是过一、二、三象限的直线,故选项B不可能;
当时,为焦点在轴上的双曲线,是过一、三、四象限的直线,故选项C可能;
当时,为焦点在轴上的双曲线,是过一、二、四象限的直线,故选项D不可能;故选C.
6.平面内到两个定点,的距离之比为定值的点的轨迹是圆,此圆被称为“阿
波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中,,,点满足.设
点的轨迹为,则下列结论正确的是
A.轨迹的方程为
B.在上到直线的距离为点有三个
C.在上存在点,使得
D.在轴上存在异于,的两点,,使得
【答案】D
【解析】设,则,化简得,,所以选项A错误;
圆心到直线的距离,又半径为,
所以在上到直线的距离为点有两个,所以选项B错误;
若在上存在点,使得,可设,
则,化简得,
与联立,方程组无解,故不存在点,所以选项C错误;
假设在轴上存在异于,的两点,,使得,
设,,则,
化简得,
由轨迹的方程为,可得,,
解得,或,(舍去),所以选项D正确.故选D.
二.填空题(每小题5分,共6小题.)
7.已知过平面外一点的斜线与平面所成角为,斜线交平面于点,若点
与平面的距离为,则斜线段在平面上的射影所形成的图形面积为.
【答案】
【解析】如图,过点作平面的垂线,垂足为,连接,所以线段为线段在平面上的射影,为斜线与平面所成的角,则,又,所以,故射影形成的图形为半径为的圆面,其面积为.
8.已知动圆经过双曲线的左焦点且与直线相切,则圆心的轨迹方
程为.
【答案】
【解析】因为动圆经过双曲线的左焦点,且与直线相切,
所以圆心到点的距离与到直线的距离相等,均为的半径.因此,圆心的轨迹是以为焦点,以为准线的抛物线,所以其方程为.
9.已知平面上动点到定点的距离比点到轴的距离大,则动点的轨迹方
程为.
【答案】或
【解析】设点的坐标为,则,
两边平方并化简,得,所以.
于是动点的轨迹方程为或.
10.下列关于曲线的说法正确的是_________.(填上所有正确的序号)
①点在曲线上;②曲线关于直线对称;
③曲线是中心对称图形;④曲线围成的区域的面积小于.
【答案】①③
【解析】对①,将点代入可得,故①正确;
对②,替换可得,与原表达式不同,故②错误;
对③,将替换成,替换成可得,故③正确;
对④,因为,故,则,故,设为曲线上一点,故,说明在圆上或圆外,故曲线C围成的区域的面积应大于或等于,故④错误.综上所述,①③正确.
三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
11.(本小题满分12分)
设为坐标原点,动点在椭圆上,过作轴的垂线,垂足为,点满足.
(1)求点的轨迹方程;
(2)设点在直线上,且.证明:过点且垂直于的直线过的左焦点.
【答案】(1);(2)证明详见解析.
【解析】(1)设,,则,.
由得.
因为在上,所以,所以.
因此
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