图解高等数学-下14「极值和鞍点」.pdfVIP

图图解解⾼⾼等等数数学学-下下14「「极极值值和和鞍鞍点点」」

11.7极极值值和和鞍鞍点点

多元函数函数的最值需要通过函数的偏导数来求解,也是多元微分学的个重点.⼯程应⽤中有

很多地⽅都⽤得到:例如个平⾯热⾦属上最⾼温度是多少?位置在那⾥?个给定的函数曲⾯

最⾼点如何达到?这些都需要考察函数的的偏导数来解答.

不过先来回顾下元函数求极值的步骤,可微函数(光滑曲线)是连续的.所以极值可能会在f(c)=0

、区间的端点或个或多个内点不可微的地⽅,这些点都需要加⼊到考察的范围中.

⼆元函数也类似这样的请看,极值点可能出现在区域边界点或两个偏导为0的内点或个或两个

偏导数不存在的地⽅.

⼆⼆元元函函数数的的局局部部极极值值

我们来分辨⼆元函数中那些点是局部最⼤,局部最⼩或是全局最⼤,全局最⼩,请看下⾯动画所

⽰:

局部最⼤值对应的函数曲⾯的⼭峰,⽽局部最⼩值对应的⾕底.对于这样的点,切平⾯存在时定

是⽔平的.与元函数样,可以⽤阶导数判别法来判断局部极值.

但请注意上⾯定理的局限性.它不适⽤于定义域的边界点(边界点有可能有极值,且有⾮零导数).

另外它也不能⽤于fx或fy不存在的地⽅.

这样,函数f仅有的极值的点是临界点或边界点.与元函数可能存在拐点元,⼆元可微函数可

能存在鞍点.

观察下⾯两条图形中鞍点:

观察下⾯函数x^2−y^2的鞍点(红点),此函数没有局部极值.

上⾯定理就是说如果D(a,b)0,则曲⾯在任何⽅向以同样的⽅式弯曲:如果fxx0=,=则朝

下,=产⽣局部极⼤;如果=fxx=0,则朝上,产⽣局部极⼩;

如果D(a,b)0,=则曲⾯某些⽅向向上,=某些⽅向向下,=

海海森森矩矩阵阵(Hessianmatrix)为下⾯矩阵形式,其⾏列式即为上⾯判别式.