第09讲 空间点、直线、平面之间的位置关系（春季讲义）（人教A版2019必修第二册）（解析版）_1_1.docx

第09讲空间点、直线、平面之间的位置关系

【人教A版2019】

·模块一平面

·模块二空间点、线、面之间的位置关系

·模块三课后作业

模块一

模块一

平面

1．平面

(1)平面的概念

生活中的一些物体通常给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等.几何里所说的“平

面”就是从这样的一些物体中抽象出来的.

(2)平面的画法

①与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面.我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面.

②当平面水平放置时，如图(1)所示，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，如图(2)所

示，常把平行四边形的一边画成竖向.

(3)平面的表示方法

平面一般用希腊字母,,,表示，也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶

点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图中的平面可以表示为：平面、平面ABCD、平面AC或平面BD.

2．点、直线、平面的位置关系的符号表示

点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的

集合.点与直线(平面)之间的位置关系用符号“”“”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“”“”表示.

3．三个基本事实及其推论

(1)三个基本事实及其表示

基本事实

自然语言

图形语言

符号语言

基本事实1

过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.

A,B,C三点不共线存在唯一的平面α使A,B,C∈α.

基本事实2

如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.

A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α.

基本事实3

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

P∈α,且P∈βα∩β=l,且P∈l.

(2)三个基本事实的作用

基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面.

基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面.

基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点.

(2)基本事实1和2的三个推论

推论

自然语言

图形语言

符号语言

推论1

经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.

点A?aa与A共面于平面α,且平面唯一.

推论2

经过两条相交直线，有且只有一个平面.

a∩b=Pa与b共面于平面α,且平面唯一.

推论3

经过两条平行直线，有且只有一个平面.

直线a//b直线a,b共面于平面α,且平面唯一.

4．共面、共线、共点问题的证明

(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.

(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.

(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.

5．平面分空间问题

一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢?三个平面呢?

(1)两个平面有两种情形：

①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图(1)；

②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图(2).

(2)三个平面有五种情形：

①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图8(1)；

②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图(2)；

③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图(3)；

④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图(4)；

⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图(5).

【考点1平面的基本性质及推论】

【例1.1】（23-24高二上·江西宜春·期末）能确定一个平面的条件是（????）

A．空间的三点 B．一个点和一条直线

C．两条相交直线 D．无数点

【解题思路】根据基本事实及其推论进行判断即可.

【解答过程】对于A，当这三个点共线时，经过这三点的平面有无数个，故A不正确；

对于B，当此点刚好在已知直线上时，有无数个平面经过这条直线和这个点，故B不正确；

对于C，根据基本事实的推论可知：两条相交直线可唯一确定一个平面，故C正确；

对于D，给出的无数个点不一定在同一个平面内，故D不正确

故选：C．

【例1.2】（23-24高二上·北京海淀·阶段练习）给出下面四个命题：

①三个不同的点确定一个平面；

②一条直线和一个点确定一个平面；

③空间两两相交的三条直线确定一个平面；

④两条平行直线确定一个平面．

其中正确的命题是（）

A．① B．② C．③ D．④

【解题思路】根据平面的概念与性质，以及线面关系对各个选项进行逐个判断即可.

【解答过程】对于①,三个不共线的点确定一个平面,故①错;

对于②,一条直线和直线外一个点确定一个平面,故②错;

对于③),空间两两相交的三条直线,且不