专题05勾股定理逆定理综合应用(原卷版+解析)2.docxVIP

专题05勾股定理逆定理综合应用

专题说明

专题说明

勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较。

解题思路

解题思路

考点1勾股数的应用

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；等

③用含字母的代数式表示组勾股数：

（为正整数）；

（为正整数）

（，为正整数）

考点2判断三角形的形状

如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边。

要点诠释：

勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：

（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；

（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c2a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2a2+b2，则△ABC为锐角三角形）。（定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边）；

【典例分析】

【考点1勾股数的应用】

【典例1】下列各数组中，是勾股数的是（）

A．6，8，10 B．2，2，2

C．1，1， D．0.4，0.3，0.5

【变式1-1】下列4组数据中，是勾股数的是（）

A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．6，7，8

【变式1-2】下列各组数中，不是勾股数的是（）

A．9、12、15 B．5、12、13 C．8、15、17 D．12、18、22

【典例2】勾股定理是数学中最常见的定理之一，熟练的掌握勾股数，对迅速判断、解答题目有很大帮助，观察下列几组勾股数：

a

b

c

1

3＝1+2

4＝2×1×2

5＝2×2+1

2

5＝2+3

12＝2×2×3

13＝4×3+1

3

7＝3+4

24＝2×3×4

25＝6×4+1

4

9＝4+5

40＝2×4×5

41＝8×5+1

…

…

…

…

n

a＝

b＝）

c＝

（1）你能找出它们的规律吗？（填在上面的横线上）

（2）你能发现a，b，c之间的关系吗？

（3）你能用以上结论解决下题吗？

20192+20202×10092﹣（2020×1009+1）2

【变式2-1】以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（8，6，10），（15，8，17），（24，10，26）等．

（1）根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数；

（2）用含n（n≥2且n为整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明．

【变式2-2】已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．尝试化简整式A．发现A＝B2．求整式B．

联想由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图，填写下表中B的值；

直角三角形三边

n2﹣1

2n

B

勾股数组Ⅰ

15

8

17

勾股数组Ⅱ

35

12

37

【考点2判断三角形的形状】

【典例3】在四边形ABCD中，已知AB＝5，BC＝3，AD＝4，CD＝4且AC⊥BC于点C．试求：

（1）AC的长；

（2）∠BCD的度数．

（3）四边形ABCD的面积．

【变式3-1】如图，在四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．

（1）求证：CD⊥AD；

（2）求四边形ABCD的面积．

【变式3-2】如图，在四边形ABCD中，AB＝24，BC＝15，CD＝20，AD＝7，∠C＝90°．

（1）连接BD，求BD的长；

（2）求四边形ABCD的面积．

【典例4】绿都农场有一块菜地如图所示，现测得AB＝12m，BC＝13m，CD＝4m，AD＝3m，∠D＝90°，求这块菜地的面积．

【变式4-1】如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．求四边形ABCD的面积．

【变式4-2】如图，四边形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CD＝13，AD＝12，∠B＝90°．

（1）连接AC，求AC的长．

（2）求四边形ABCD的面积．

【夯实基础】

1．若3、4、a为勾股数，则a的值为（）

A． B．5 C．6 D．

2.（2021春?长沙县期末）如图，小方格都是边长为1的正方形．

（1）求四边形ABCD的边AB与BC的长；

（2）用勾股定理逆定理的知识证明：∠ABC＝90°．

3.如图，