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2023-2024学年吉林省长春市养正高级中学高三年级第二学期第一次联合测试试卷数学试题

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数，，若存在实数，使成立，则正数的取值范围为（）

A． B． C． D．

2．在中，，，，为的外心，若，，，则（）

A． B． C． D．

3．己知四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，是等边三角形，且；若点在四棱锥的外接球面上运动，记点到平面的距离为，若平面平面，则的最大值为（）

A． B．

C． D．

4．设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则a的值为（）

A． B．3 C．1 D．

5．已知，满足，且的最大值是最小值的4倍，则的值是（）

A．4 B． C． D．

6．设全集，集合，，则（）

A． B． C． D．

7．已知二次函数的部分图象如图所示，则函数的零点所在区间为（）

A． B． C． D．

8．已知曲线的一条对称轴方程为，曲线向左平移个单位长度，得到曲线的一个对称中心的坐标为，则的最小值是（）

A． B． C． D．

9．设a=log73，，c=30.7，则a，b，c的大小关系是（）

A． B． C． D．

10．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（）

注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.

A．互联网行业从业人员中90后占一半以上

B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的

C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多

D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多

11．设双曲线的左右焦点分别为，点.已知动点在双曲线的右支上，且点不共线.若的周长的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是（）

A． B． C． D．

12．在三角形中，，，求（）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．函数的定义域为__________．

14．在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量（单位：吨）分别为9.4，9.7，9.8，10.3，10.8.则该农作物的年平均产量是______吨.

15．设数列的前项和为，且对任意正整数，都有，则___

16．如图，四面体的一条棱长为，其余棱长均为1，记四面体的体积为，则函数的单调增区间是____；最大值为____.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数

（1）若对任意恒成立，求实数的取值范围；

（2）求证：

18．（12分）已知函数，.

（1）若曲线在点处的切线方程为，求，；

（2）当时，，求实数的取值范围.

19．（12分）已知各项均不相等的等差数列的前项和为,且成等比数列.

（1）求数列的通项公式;

（2）求数列的前项和.

20．（12分）已知函数．

（1）若，证明：当时，；

（2）若在只有一个零点，求的值.

21．（12分）如图，四棱锥中，底面是菱形，对角线交于点为棱的中点，．求证：

（1）平面；

（2）平面平面．

22．（10分）已知圆的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是是参数），若直线与圆相切，求实数的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

根据实数满足的等量关系，代入后将方程变形，构造函数，并由导函数求得的最大值；由基本不等式可求得的最小值，结合存在性问题的求法，即可求得正数的取值范围.

【详解】

函数，，

由题意得，

即，

令，

∴，

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴，而，

当且仅当，即当时，等号成立，

∴，

∴.

故选：A.

【点睛】

本题考查了导数在求函数最值中的应用，由基本不等式求函数的最值，存在性成立问题的解法，属于中档题.

2、B

【解析】

首先根据题中条件和三角形中几何关系求出，，即可求出的值.

【详解】

如图所示过做三角形三边的垂线，垂足分别为，，，

过分别做，的平行线，，

由题知，

则外接圆半径，

因为，所以，

又因为，所以，，

由题可知，

所以，，

所以.