湘教版高考数学一轮总复习课后习题 课时规范练58 翻折问题与探索性问题.docVIP

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课时规范练58翻折问题与探索性问题

1.(甘肃一诊)如图1所示的正方形AAA1A1中,AA1=12,AB=A1B1=3,BC=B1C1=4,对角线AA1分别交BB1,CC1于点P,Q,将正方形AAA1A1沿BB1,CC1折叠使得AA1与AA1重合,构成如图2所示的三棱柱ABC-A1B1C1.

图1

图2

(1)若点M在棱AC上,且AM=157,证明:BM∥平面

(2)求平面APQ与平面A1PQ夹角的余弦值.

2.(山东烟台模拟)如图,圆柱的轴截面ABCD是边长为6的正方形,下底面圆的一条弦EF交CD于点G,其中DG=2,DE=DF.

(1)证明:平面AEF⊥平面ABCD.

(2)判断上底面圆周上是否存在点P,使得二面角P-EF-A的余弦值为45?若存在,求AP的长;若不存在,请说明理由

3.(甘肃兰州诊断)如图所示的五边形SBADC中,ABCD是矩形,BC=2AB,SB=SC,沿BC折叠成四棱锥S-ABCD,点M是BC的中点,SM=2.

(1)在四棱锥S-ABCD中,可以满足条件①SA=6;②cos∠SBM=55;③sin∠SAM=63,请从中任选两个作为补充条件,证明:平面SBC⊥

(2)在(1)的条件下求直线SC与平面SAD所成角的正弦值.

4.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且AD=CD=22,BC=42,PA=2.

(1)求证:AB⊥PC.

(2)在线段PD上,是否存在一点M,使得二面角M-AC-D的大小为45°?如果存在,求BM与平面MAC所成角的正弦值;如果不存在,请说明理由.

课时规范练58翻折问题与探索性问题

1.(1)证明在题图2中,过点M作MN∥CQ,交AQ于点N,连接PN,

则MN∥PB,∴M,N,P,B四点共面,且平面MNPB交平面APQ于直线PN.

题图1中,∵AB=3,BC=4,∴在三棱柱中,AC=5.

又四边形AAA1A1为正方形,则QC=7,tan∠QAC=7

由AM=157,则

∴四边形MNPB为平行四边形,

∴BM∥PN.

又PN?平面APQ,BM?平面APQ,∴BM∥平面APQ.

(2)解由(1)知,在三棱柱中,AC2=AB2+BC2,∴AB⊥BC.

由题图知,PB=AB=3,QC=7,分别以BA,BC,BB1的方向为x轴、y轴、z

则A(3,0,0),C(0,4,0),P(0,0,3),Q(0,4,7),A1(3,0,12),A1P=(-3,0,-9),A1Q=(-3,4,-5),

设平面APQ的法向量为n=(x,y,z),

则n

取x=1,则y=-1,z=1,得n=(1,-1,1).

设平面A1PQ的法向量为m=(x1,y1,z1),

则m

取=(-3,-1,1),

所以cosm,n=m·n|

故平面APQ与平面A1PQ夹角的余弦值为33

2.(1)证明由题意可知在下底面圆中,CD为直径.

因为DE=DF,所以G为弦EF的中点,且EF⊥CD.

因为EF⊥AD,AD∩CD=D,AD,CD?平面ABCD,所以EF⊥平面ABCD.

因为EF?平面AEF,

所以平面AEF⊥平面ABCD.

(2)解设平面PEF交圆柱上底面于PQ,因为圆柱的上、下底面平行,所以平面PEF与上、下底面的交线平行,即EF∥PQ.设PQ交AB于点H.则二面角P-EF-A的大小就是二面角H-EF-A的大小.

分别以下底面垂直于DC的直线,直线DC,直线DA为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.

因为DG=2,底面圆的半径为3,所以EG=FG=22

则A(0,0,6),E(22,2,0),F(-22,2,0).

设H(0,m,6)(0m≤6),所以AE=(22,2,-6),AF=(-22,2,-6),EH=(-22,m-2,6),EF=(-42,0,0),FH=(22,m-2,6).

设平面AEF的一个法向量为m=(x1,y1,z1),由m

得2

即x1=0,y1=3

设平面HEF的一个法向量为n=(x2,y2,z2),由n

得-

即x

令y2=-6,则n=(0,-6,m-2).

所以|cosm,n|=|m

化简得3m2+8m-80=0,解得m=4或m=-203(舍).即

因为EF⊥CD,所以PQ⊥AB,易知OH=1,

所以PH=22,AP=AH2

所以存在点P,使得二面角P-EF-A的余弦值为45,AP的长为2

3.(1)证明选条件①②.

因为在四棱锥S-ABCD中,SB=SC,点M是BC的中点,SM=2,所以SM⊥BC.

在Rt△SBM中,cos∠SBM=55,则sin∠SBM=255,故

因为tan∠SBM=SMBM=2,所以

因为四边形ABCD是矩形,BC=2AB,所以BM=AB=1,AM=2