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北京市航空航天大学附属中学2023年高三第二次学情调研数学试题
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设是定义在实数集上的函数,满足条件是偶函数,且当时,,则,,的大小关系是()
A. B. C. D.
2.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案种数是()
A.18种 B.36种 C.54种 D.72种
3.已知中,角、所对的边分别是,,则“”是“”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件 D.充分必要条件
4.已知是平面内互不相等的两个非零向量,且与的夹角为,则的取值范围是()
A. B. C. D.
5.设等比数列的前项和为,若,则的值为()
A. B. C. D.
6.如果,那么下列不等式成立的是()
A. B.
C. D.
7.设等差数列的前n项和为,且,,则()
A.9 B.12 C. D.
8.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()
A. B. C. D.
9.要得到函数的图象,只需将函数的图象
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
10.记递增数列的前项和为.若,,且对中的任意两项与(),其和,或其积,或其商仍是该数列中的项,则()
A. B.
C. D.
11.已知、分别为双曲线:(,)的左、右焦点,过的直线交于、两点,为坐标原点,若,,则的离心率为()
A.2 B. C. D.
12.若,满足约束条件,则的取值范围为()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.在中,角所对的边分别为,为的面积,若,,则的形状为__________,的大小为__________.
14.已知函数,在区间上随机取一个数,则使得≥0的概率为.
15.利用等面积法可以推导出在边长为a的正三角形内任意一点到三边的距离之和为定值,类比上述结论,利用等体积法进行推导,在棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的距离之和也为定值,则这个定值是______
16.在平面直角坐标系xOy中,己知直线与函数的图象在y轴右侧的公共点从左到右依次为,,…,若点的横坐标为1,则点的横坐标为________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知函数(,为自然对数的底数),.
(1)若有两个零点,求实数的取值范围;
(2)当时,对任意的恒成立,求实数的取值范围.
18.(12分)已知函数,,且.
(1)当时,求函数的减区间;
(2)求证:方程有两个不相等的实数根;
(3)若方程的两个实数根是,试比较,与的大小,并说明理由.
19.(12分)设都是正数,且,.求证:.
20.(12分)设数列,的各项都是正数,为数列的前n项和,且对任意,都有,,,(e是自然对数的底数).
(1)求数列,的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
21.(12分)如图,湖中有一个半径为千米的圆形小岛,岸边点与小岛圆心相距千米,为方便游人到小岛观光,从点向小岛建三段栈道,,,湖面上的点在线段上,且,均与圆相切,切点分别为,,其中栈道,,和小岛在同一个平面上.沿圆的优弧(圆上实线部分)上再修建栈道.记为.
用表示栈道的总长度,并确定的取值范围;
求当为何值时,栈道总长度最短.
22.(10分)已知函数,.
(1)若对于任意实数,恒成立,求实数的范围;
(2)当时,是否存在实数,使曲线:在点处的切线与轴垂直?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.C
【解析】
∵y=f(x+1)是偶函数,∴f(-x+1)=f(x+1),即函数f(x)关于x=1对称.
∵当x≥1时,为减函数,∵f(log32)=f(2-log32)=f()
且==log34,log34<<3,∴b>a>c,
故选C
2.B
【解析】
把4名大学生按人数分成3组,为1人、1人、2人,再把这三组分配到3个乡镇即得.
【详解】
把4名大学生按人数分成3组,为1人、1人、2人,再把这三组分配到3个乡镇
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