第六章 空间向量与立体几何（压轴题专练）（原卷版）_1.docx

第六章空间向量与立体几何（压轴题专练）

题型一共面向量定理的应用

【例1】已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：

(1)E，F，G，H四点共面；

(2)BD∥平面EFGH.

思维升华

证明空间四点P，M，A，B共面的等价结论

(1)eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))；

(2)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))；

(3)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OM,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)；

(4)eq\o(PM,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→))(或eq\o(PA,\s\up6(→))∥eq\o(MB,\s\up6(→))或eq\o(PB,\s\up6(→))∥eq\o(AM,\s\up6(→))).

巩固训练

1.已知i，j，k是三个不共面的向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝i－2j＋2k，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2i＋j－3k，eq\o(CD,\s\up6(→))＝λi＋3j－5k，且A，B，C，D四点共面，求λ的值.

题型二空间向量基本定理的应用

【例2】如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为60°.

(1)求AC1的长；

(2)求BD1与AC所成角的余弦值.

思维升华

用空间向量基本定理解决立体几何问题的步骤：首先根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底，如果存在三个两两垂直的空间向量也可以确定一个单位正交基底.然后根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，最后把空间向量的运算转化为基向量的运算.

巩固训练

1.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，E，F分别是AD1，BD的中点.

(1)用向量a，b，c表示eq\o(D1B,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))；

(2)若eq\o(D1F,\s\up6(→))＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值.

题型三平面法向量的应用

【例3】已知A(1，2，3)，B(1，－1，－2)，C(－1，0，0).

(1)写出直线BC的一个方向向量；

(2)设平面α经过点A，且eq\o(BC,\s\up6(→))是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，试写出x，y，z满足的关系式.

思维升华

在空间直角坐标系中，平面可以用关于x，y，z的三元一次方程来表示，具体步骤为：①求出平面的一个法向量；②求出平面内任意一点(x，y，z)与平面α内的一个已知点组成的向量；③利用平面的法向量与平面内任意一个向量垂直建立等量关系求解.

巩固训练

1.在空间直角坐标系中，设平面α经过点P(－1，2，－2)，平面α的一个法向量为n＝(－1，1，2)，M(x，y，z)是平面α内任意一点，求x，y，z满足的关系式.

题型四立体几何中的探索性问题

【例4】如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2.

(1)求证：AC⊥BF；

(2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出eq\f(BP,PE)的值；若不存在，请说明理由.

思维升华

解决立体几何中探索性问题的基本方法

(1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理.

(2)探索性问题的关键是设点：①空间中的点可设为(x，y，z)；②坐标平面内的点其中一个坐标为0，如xOy面上的点为(x，y，0)；③坐标轴上的点两个坐标为0，如z轴上的点为(0，0，z)；④直线(线段)AB上的点P，可设为eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，表示出点P的坐标，或直接利用向量运算.

巩固训练

1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?

题型五空间向量的概念及运算

【例5】(1)判断下列各命题的真假：①向量a与b