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2022年浙江省宁波市海曙区自主招生数学试卷

（一）填空题

1．△ABC中，∠A和∠B均为锐角，AC＝6，BC＝，且sinA＝，则cosB的值为．

2

2．若实数a满足a+2a﹣1＝0，则＝．

3．已知关于x的方程|x|＝ax+1有一个正根和一个负根，则实数a的取值范围是．

4．如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+）＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k

的取值范围是．

5．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在边OC上，且BD

＝OC，以BD为边向下作矩形BDEF，使得点E在边OA上，反比例函数y＝（k≠0）

的图象经过边EF与AB的交点G．若AG＝，DE＝2，则k的值为．

6．如图，AD，BE，CF分别为△ABC三边BC，AC，AB上的高，若∠ABC＝45°，∠ACB

＝60°，则＝．

7．已知x，y为正整数，且满足方程，则该方程的解为．

8．在平面直角坐标系中，同时满足下列两个条件的点的坐标为．

（1）直线y＝﹣2x+3通过这样的点；

（2）不论m取何非零实数值，抛物线y＝mx2+（2m﹣1）x﹣3m都不通过这样的点．

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9．如图，点A、B、C均在坐标轴上，AO＝BO＝CO＝1，过A、O、C作⊙D，E是⊙D上

任意一点，连结CE，BE，则CE2+BE2的最大值是．

10．已知关于x的方程的两根均大于1且小于2，则a+b的取值范围是．

（二）解答题

11．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是该圆直径，D是弧AC上的点，线段BD与AC交

于点E，若AB＝5，sin∠CAB＝＝k．

（1）试用含m的代数式表示k；

（2）若AD∥OC，求k的值．

12．给出如下2405个平方数：12222

，2，3，…，2405，规定可以在其中的每个数前任意添

加上“+”号或“﹣”号，所得的代数和记为L，试设计可行方案使得L≥0，且L最小．

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参考答案与试题解析

（一）填空题

1．【分析】过点C作CD⊥AB于点D．在Rt△ACD中，已知sinA和AC的值，根据三角函