第三章 幂、指数与对数（压轴题专练）（解析版）_1.docx

第三章幂、指数与对数（压轴题专练）

一、单选题

1.若x+1x=4,则

A.10 B.15 C.115 D.

【答案】C?

【解析】【分析】

本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解决本题的关键．

将已知等式两边平方，利用完全平方公式化简求出x2+1x2

【解答】

解：x+1x=4,

两边平方得x+1x2=x2+1

2.我国著名数学家李善兰与英国传教士伟烈亚力合译的《代数学》是一部介绍西方符号代数的数学著作，《代数学》中多处使用汉语化的表现形式表达数学运算法则，如用“天四天三=天三天天三=天一”来表示“x4x3=x3xx3=x”，用“(甲

①“天八天二=天二

②“天二十天一七=天一七

③“(甲??⊥乙)二=甲??二⊥二甲乙??⊥乙??二

A.①②③ B.②③ C.①③ D.①②

【答案】A?

【解析】【分析】

本题考查知识运算，属于中档题．

根据题目信息，结合指数幂的运算及完全平方和的展开式求解即可．

【解答】

解：由题知，“天四天三=天三天天

由“(甲??⊥乙)三=甲??三⊥三甲??二乙??⊥三甲乙??二⊥乙??三”来表示

故选：A．

二、解答题

3.若a，b是方程2(lgx)2-lg

【答案】解：原方程可化为2(lgx

设t=lgx，则方程化为2t2-4t+1=0，

由韦达定理可得t1+t

又∵a，b是方程2(lg

∴t1=lg

即lga+lgb

∴lg(

=(lg

=(lg

=(lg

=2×2

即lg(ab

?

【解析】本题考查对数方程的求解，对数的运算性质，换底公式的运用，属于拔高题．

设t=lgx，将原方程化为2t2-4t+1=0，由韦达定理可得t1

4.(1)已知a，b，c均为正数，且3a=4b=6c，求证：2a+1b=

【答案】解：(1)设3a=4b=6c=k，又a，b，c均为正数，则k1．

由对数定义得a=log3k，b=log

(2)由a=log603，

于是1-a-b=1-log603-log

?【解析】本题主要考查对数的运算法则，属于拔高题．

(1)设3a=4b=6c=k，又a，b，c均为正数，则k1.由对数定义得a=log3k，b

5.(1)已知a，b，c是不等于1的正数，且ax=by=cz，1x+1y+1z

【答案】解：(1)设ax=by=cz=t，t0，

∴x=logat，y=logbt，z=logct，

∵1x+1y+1z

【解析】本题考查对数的运算性质，属于拔高题，熟练掌握相关运算法则是解题基础．

(1)设ax=by=cz=t，t0，则x=logat，y=logbt

6.已知x，y，z均为正数，且2x=

(1)若5x=my，求实数

(2)求证：1x=

【答案】解：(1)设2x=3

则x=log2k，y=log3

∵log2

(2)证明：1z

?【解析】本题考查对数运算与指数和对数的互化，属于拔高题．

(1)设2x=3y=6z=k(显然k1)，分别表示出x，y，z，代入5x=

7.当a34且a≠1时，判断loga

【答案】解：当a1时，loga(a+1)log(a+1)a；

当34a1时，loga(a+1)log(a+1)a.

证明如下：loga(a+1)-log(a+1)a=lg(a+1)lga-lga

【解析】本题考查了“作差法”、对数的运算法则及其函数的单调性，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于较难题．

作差对a分类讨论，利用对数函数的单调性即可得出．

8.已知P=80.25×42+(2764)?-13-(-2020)0，Q

【答案】解：(1)P=234×214+(43)-3×(-13)-1

=2+43-

【解析】本题考查了指数与对数运算性质，属于拔高题．

(1)利用指数与对数运算性质可得P，Q．

(2)2a=5b=m

9.已知x，y，z为正数，3x=4y=6z，2x=py．

(1)求p

【答案】解：(1)设3x=4y=6z=t，

因为x

所以x=log3t

因为2x=py

因为log3t

(2)1

12

所以1z

?【解析】本题主要考查了对数与对数运算．

(1)设3x=4y=6z=t，则t1，所以x=log3t，y

10.数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．因为运算，数的威力无穷；没有运算，数就只是一个符号．对数运算与指数运算是两类重要的运算．对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．一个自然数数位的个数，叫做位数．例如：26=64，所以26的位数是2；210=1024∈(103,104)，所以210的位数是4．

(1)试判断220和2100的位数，并说明理由；

【答案】解：(1)因为220

所以220的位数是7

设10k

因为y=lgx在

所以取常用对数，得k1