第四章 幂函数、指数函数与对数函数（4大知识归纳+6大题型突破）（原卷版）.docx

第四章幂函数、指数函数与对数函数

（知识归纳+题型突破）

一、幂函数的图象与概念

1、幂函数的概念与图象

（1）定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

（2）幂函数的特征：=1\*GB3①xα的系数是1；=2\*GB3②xα的底数x是自变量；=3\*GB3③xα的指数α为常数．

只有满足这三个条件，才是幂函数．形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等函数都不是幂函数．

（3）幂函数的图象

同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y=x12的图象

2、幂函数的性质

（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；

（2）如果α＞0，幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；

（3）如果α＜0，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；

（4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．

二、指数函数的图象与性质

1、指数函数的概念

（1）定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，

其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数．

（2）注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由：

=1\*GB3①如果，当

=2\*GB3②如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在．

=3\*GB3③如果，是一个常量，对它就没有研究的必要．

2、指数函数的图象与性质

图象

性质

定义域

值域

过定点

单调性

在上是增函数

在上是减函数

奇偶性

非奇非偶函数

指数函数y=ax(

(1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底大图高”；

(2)在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底大图低”.

三、对数函数的概念

1、对数函数的概念

（1）定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为．

（2）特殊的对数函数

=1\*GB3①常用对数函数：以10为底的对数函数.

=2\*GB3②自然对数函数：以无理数e为底的对数函数.

2、对数函数的图象与性质

a＞1

0＜a＜1

图象

性质

定义域

(0，＋∞)

值域

R

过定点

过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0

函数值的变化

当0＜x＜1时，y＜0；

当x＞1时，y＞0

当0＜x＜1时，y＞0；

当x＞1时，y＜0

单调性

是(0，＋∞)上的增函数

是(0，＋∞)上的减函数

【小结】

（1）当时，图象呈上升趋势；当时，图象呈下降趋势，

又当时，a越大，图象向右越靠近x轴；时，a越小，图象向右越靠近x轴.

（2）对数函数y=logax与y=log1ax(a0且a≠1)的图象关于

（3）单调性相同的对数函数，它们位于直线x=1右侧部分的图象满足“底大图低”的规律.利用此性质可比较不同对数函数的底数大小，具体方法如下：作直线y=1与各个对数函数的图象，在第一象限内，从左到右，

四、指数、对数型复合函数的单调性、值域求法

1、指数型复合函数单调性的求法

（1）形如y=af

当a1时，函数u=f(x)的单调递增(减)区间即为函数y=afx的单调递增(减)区间；当0a1时，函数u

（2）形如y=f(ax)

通过内层函数u=ax的值域确定外层函数y=f(u

2、指数型复合函数值域的求法

（1）形如（，且）的函数求值域

换元法：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围

（2）形如（，且）的函数求值域

换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域.

3、对数型复合函数单调性的求法

（1）“定义域优先”原则：

单调区间是定义域的子集.求函数的单调区间时一定要先求其定义域.

（2）与对数函数有关的函数的单调性的判断方法

形如y=logaf(x)(a0且a≠1)的复合函数，当a1时，y=logaf(x)的单调性与y=f(x)的单调性相同；当0a1时，y=logaf(x)的单调性与y=f

形如y=f(logax)(a0且a≠1)的复合函数，一般用复合函数单调性的规律判断，先令t=logax，然后只需研究t=logax与

4、对数型复合函数值域的求法

（1）形如（，且）的函数求值域

换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性，再求出的值域.

（2）形如（，且）的函数的值域

换元法:令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域.

题型一：幂函数、指数函数与对数函数的概念

例1.1已知y＝m2

例1.2若函数是指数函数，则等于（????）

A．或 B． C． D．

例1.3下列函数，其中为对数函数的是（????）

A．y=log12(-x) B．

例1.4