2023-2024学年高一下学期第一次月考解答题压轴题十六大题型专练（解析版）_1.docx

2023-2024学年高一下学期第一次月考解答题压轴题十六大题型专练

【人教A版（2019）】

题型

题型1

用向量关系研究几何图形的性质

1．（2023·高一课时练习）已知点E，F，G，H分别是平面四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：EF=

【解题思路】连接AC，易得EF，HG分别为△ABC和△ADC的中位线，进而可得EF//HG，且EF=HG

【解答过程】证明：如图，连接AC，

??

因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF为△ABC

所以EF//AC，且

同理，因为G，H分别是CD，DA的中点，所以HG//AC，且

所以EF//HG，且

因为向量EF与HG方向相同，所以EF=

2．（2023下·高一课时练习）如图，已知在四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又AB=DC.求证：

【解题思路】根据相等向量的定义、中点的定义、平行四边形的判定定理和性质定理，可以证明出CN=

【解答过程】证明：由AB=DC可知AB=

所以四边形ABCD为平行四边形，

从而AD=

又M，N分别是BC，AD的中点，于是AN=

所以AN=MC且

所以四边形AMCN是平行四边形.

从而CN=

3．（2023·高一课时练习）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且AO=OC，BO=

【解题思路】由AO=OC，BO=OD可得AC

【解答过程】因为四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且AO=OC，

所以四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，

所以四边形ABCD是平行四边形．

即证.

4．（2023·高一课时练习）如图，半圆的直径AB=6，C是半圆上的一点，D、E分别是AB、BC上的点，且AD=1，BE=4

（1）求证：AC∥

（2）求AC.

【解题思路】(1)本题首先可以根据勾股定理得出ΔDEB是直角三角形，然后根据点C为半圆上一点得出∠ACB=90°，最后根据

(2)本题首先可以根据AC//DE得出ΔABC～ΔDBE，然后根据

【解答过程】(1)由题意知，在ΔBED中，BD=5，DE=3，

所以DE2+B

因为点C为半圆上一点，所以∠

所以AC//DE

(2)因为AC//DE，所以ΔABC～

即AC3=65，解得

题型

题型2

向量线性运算的几何应用

5．（2023·全国·高一课堂例题）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AD，DC的中点，BE，BF分别交AC于M，N．求证：M，N三等分AC．

??

【解题思路】根据题意结合向量的线性运算分析证明.

【解答过程】由题意可得：AN+NB=

所以AN+

由于AN与NC，NB与FN分别共线，但NC与FN不共线，

所以NB=2FN，AN=2NC，因此

同理可证MC=2AM，因此M也是

6．（2023·全国·高一随堂练习）如图，点D是△ABC中BC边的中点，AB=a

??

(1)试用a，b表示AD；

(2)若点G是△ABC的重心，能否用a，b表示AG

(3)若点G是△ABC的重心，求GA

【解题思路】（1）利用三角形法则整理化简即可；

（2）利用三角形重心性质及向量的线性运算化简计算即可；

（3）利用三角形重心性质及三角形法则化简计算即可.

【解答过程】（1）因为点D是△ABC中BC边的中点，且AB=a

所以AD=

（2）因为点G是△ABC

所以AG=23AD=2

=1

（3）因为点G是△ABC的重心且D是BC边的中点，所以GB

又AG=23AD=2

7．（2023·高三课时练习）已知点G为△ABC

(1)求GA+

(2)过G作直线与AB、AC两条边分别交于点M、N，设AM=xAB，AN

【解题思路】（1）根据已知得出GA、

（2）根据已知得出AG=13AB+AC，结合AM=xAB，

【解答过程】（1）∵点G为△ABC

∴GA=13BA

∴GA

（2）∵点G为△ABC

AG=

∴MG

=1

=1

GN=

=y

=-1

∵MG与GN

∴存在实数λ，使得MG=

则13

根据向量相等的定义可得13

消去λ可得x+

两边同除xy，整理得1x

8．（2023下·高一课时练习）点O是梯形ABCD对角线的交点，|AD|=4,|BC|=6，|AB|=2，设与BC同向的单位向量为

（1）用a0和b0表示AC,

（2）若点P在梯形ABCD所在平面上运动，且|CP|=2，求

【解题思路】（1）根据AC=BC-BA、CD=AD-AC可求解出

（2）根据向量的三角不等式求解出|BP|

【解答过程】（1）因为BC=6a0

所以CD=

因为AD//BC，所以

所以OA=-

（2）因为|BP|=|BC+CP|≤|BC

又|BP|=|CP-CB|≥|

综上可知，|BP|的最大值为8，最小值为

题型

题型3

向量的数量积问题

9．（2023上·江苏徐州·高一统考期末）已知|a|=3，|b|=