抽象函数的对称性与周期性.docVIP

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论

抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较

困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力。

一、函数图象本身的对称性（自身对称）

1、函数的轴对称：

图象关于直线对称

推论1：的图象关于直线对称

推论2、的图象关于直线对称

推论3、的图象关于直线对称

特殊地，函数满足，则函数的图象关于直线（轴）对称。

函数的点对称：

的图象关于点对称

推论1、的图象关于点对称

推论2、的图象关于点对称

推论3、的图象关于点对称

特殊地，若满足，则的图象关于点对称。

特殊地，若满足，则函数的图象关于原点对称。

二、函数的周期性：

对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。

1、函数满足如下关系系，则为周期函数。

A、；

B、；

C、或

2、定理1：若函数在上满足，且（其中），则函数以为周期。

定理2：若函数在上满足，且（其中），则函数以为周期。

定理3：若函数在上满足，且（其中），则函数以为周期。

总规律：1、若，则具有周期性；若，则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。

2、定义在上的函数，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在。

灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。

1.求函数值：

例1.（1996年高考题）设是上的奇函数，当时，，则等于（-0.5）

（A）0.5;（B）-0.5;（C）1.5;（D）-1.5.

例2．（1989年北京市中学生数学竞赛题）已知是定义在实数集上的函数，且，求的值.。

2、比较函数值大小：

例3.若是以2为周期的偶函数，当时，试比较、、的大小.

解：是以2为周期的偶函数，又在上是增函数，且，

3、求函数解析式：

例4.（1989年高考题）设是定义在区间上且以2为周期的函数，对，用表示区间已知当时，求在上的解析式.

解：设

时，有

是以2为周期的函数，.

例5．设是定义在上以2为周期的周期函数，且是偶函数，在区间上，求时，的解析式.

解：当，即，

又是以2为周期的周期函数，于是当，即时，

4、判断函数奇偶性：

例6.已知的周期为4，且等式对任意均成立，判断函数的奇偶性。

解：由的周期为4，得，由得

，故为偶函数.

5、确定函数图象与轴交点的个数：

例7.设函数对任意实数满足，

判断函数图象在区间上与轴至少有多少个交点.

解：由题设知函数图象关于直线和对称，又由函数的性质得

是以10为周期的函数.在一个周期区间上，

故图象与轴至少有2个交点.

而区间有6个周期，故在闭区间上图象与轴至少有13个交点。

1、在上定义的函数是偶函数，且.若在区间上是减函数，则(B)

A.在区间上是增函数，在区间上是减函数

B.在区间上是增函数，在区间上是减函数

C.在区间上是减函数，在区间上是增函数

D.在区间上是减函数，在区间上是增函数

分析：由可知图象关于对称，即推论1的应用.又因为为偶函数图象关于对称，可得到为周期函数且最小正周期为2，结合在区间上是减函数，可得如右草图.故选B

2、定义在上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为（D）

A.0 B.1 C.3 D.5

分析：，，

∴，则可能为5，选D.

3、已知函数的图象关于直线和都对称，且当时，.求的值。

分析：由推论1可知，的图象关于直线对称，即，

同样，满足，现由上述的定理3知是以4为周期的函数.

，同时还知是偶函数，所以.

4、函数在上有定义，且满足是偶函数，且，是奇函数，则的值为.

解：，，令，则，即有，令，则，其中，，，

.或有，得

.

5、设函数为奇函数，则（c）

A．0 B．1 C． D．5

分析：答案为B。先令f（1）=f（--1+2）=f（--1）+f（2）=1/2，根据奇函数的定义可求得f（--1）=--1/2，所以，

f（2）=1，f（5）=f（3）+f（2）=f（1）+f（2）+f（2）=5/2，所以，答案为c。

6、设是