专题11垂径定理(原卷版+解析)(重点突围).docxVIP

专题11垂径定理

考点一利用垂径定理求值考点二利用垂径定理求平行弦问题

考点三利用垂径定理求同心圆问题考点四利用垂径定理求解其他问题

考点五垂径定理的推论考点六垂径定理的实际应用

考点一利用垂径定理求值

例题：（2022·江苏·盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）三模）如图，⊙O的直径CD=20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC=3：5，则AB的长为（???????）

A．8B．12C．16D．2

【变式训练】

1．（2022·浙江宁波·三模）已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为（???????）

A． B． C．或 D．或

2．（2022·湖南长沙·一模）如图，在直径为10cm的⊙O中，AB=8cm，弦OC⊥AB于点C，则OC等于________cm．

考点二利用垂径定理求平行弦问题

例题：（2022·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）在圆中两条平行弦的长分别6和8，若圆的半径为5，则两条平行弦间的距离为___________．

【变式训练】

1．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E，GB=5，EF=4，那么AD=______．

2．（2022·九年级单元测试）设AB、CD是⊙O的两条弦，ABCD．若⊙O的半径为13，AB=24，CD=10，则AB与CD之间的距离为___________．

考点三利用垂径定理求同心圆问题

例题：（2022秋·九年级课时练习）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（）cm.

A．6 B． C． D．

【变式训练】

1．（2019秋·浙江台州·九年级统考期末）如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为_______________cm

2．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．

(1)求证：．

(2)若，大圆的半径，求小圆的半径r．

考点四利用垂径定理求解其他问题

例题:（2022秋·江苏淮安·九年级统考期中）如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点、、．

(1)用直尺画出该圆弧所在圆的圆心的位置，点坐标为______；

(2)求圆半径的长度；

(3)若点的坐标为，请通过计算说明点与圆的位置关系．

【变式训练】

1．（2022春·上海金山·九年级校考阶段练习）已知：的半径为5，点在直径上，过点作的弦，过点作直线的垂线，垂足为点．

(1)如图1，当时，求线段的长；

(2)当点是线段的中点时，求的长；

(3)如果，求线段的长．

考点五垂径定理的推论

例题：（2022·上海嘉定·二模）下列命题中假命题是（???????）

A．平分弦的半径垂直于弦 B．垂直平分弦的直线必经过圆心

C．垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧 D．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦

【变式训练】

1．（2021·云南省个旧市第二中学九年级期中）下列语句中不正确的有（??）???

①长度相等的弧是等弧；②垂直于弦的直径平分弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧；⑤半圆是圆中最长的弧；⑥不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆.

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

2．（2022·黑龙江·大庆市第三十六中学九年级期末）下列说法正确的是（???????）

A．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等

B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧

C．等弧所对的圆心角相等，所对的弦相等

D．圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径

考点六垂径定理的实际应用

例题：（2022·广东广州·二模）往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，水的最大深度为16cm，则圆柱形容器的截面直径为（???????）cm．

A．10 B．14 C．26 D．52

【变式训练】

1．（2022·四川自贡·中考真题）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦长20厘米，弓形高为2厘米，则镜面半径为____________厘米．

2．