湘教版高考数学一轮总复习课后习题 课时规范练70 定点与定值问题.docVIP

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课时规范练70定点与定值问题

1.(北京平谷模拟)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)经过A(-2,0),B-1,32两点,设过点P(-2,1)的直线与椭圆E交于M,N两点,过M且平行于y轴的直线与线段AB

(1)求椭圆E的方程;

(2)证明:直线HN过定点.

2.(河北邯郸模拟)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)过P1(2,0),P2(0,4),P3(-2

(1)求双曲线C的方程;

(2)若直线l与双曲线C交于A,B两点,且P1A⊥P1B,求证:直线l经过一个不在双曲线C上的定点,并求出该定点的坐标.

3.(甘肃兰州校考)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,上顶点为P,离心率为

(1)求椭圆C的标准方程.

(2)A,B分别是椭圆长轴的左、右两个端点,过点22,0的直线交椭圆于M,N两点(与A,B均不重合),设直线AM,AN的斜率分别是k1,k2.讨论k1·k2是否为定值?若是,求出定值;若不是

4.(甘肃一诊)已知动圆过定点12,0,且与直线x=-

(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;

(2)过点T(1,0)且斜率分别为k1,k2的两条直线分别交曲线C于点A,B和点M,N,点P,Q分别是线段AB,MN的中点,若k1+k2=2,求点T到直线PQ的距离的最大值.

课时规范练70定点与定值问题

1.(1)解因为椭圆E经过A(-2,0),B-1,32两点,则4a2=1,1a2+94b2=1

(2)证明因为A(-2,0),B-1,32,所以AB:y=32(x+2),

①假设过点P(-2,1)的直线过原点,则y=-x2,代入x24+y23=1,可得M-3,32,N3,-32,当x=-3时,代入AB的方程y=32(x+2),可得y=32(2-3)=3-332,即T-3,3-332,由MT=TH,得到H-3,-

②分析知过点P(-2,1)的直线斜率一定存在,设直线方程为k(x1,y1),N(x2,y2).

联立kx-y+2k+1=0,x24+y2

Δ=(16k2+8k)2-16(4k2+3)(4k2+4k-2)=16(6-12k)0,即k1

可得x1+x2=-16k2+8k4

y1y2=(kx1+2k+1)(kx2+2k+1)=k2x1x2+(2k2+k)(x1+x2)+4k2+4k+1=3+12k4k2+3,且x1y2+x2y1=x1(kx2+2k+1)+x2(kx1+2k+1)=2kx1x2+(2k+1)(x1

联立x=x1,y=32(x+2),可得Tx1,32(H的中点,可得H(x1,3(x1+2)-y1).可求得此时HN:y-y2=3x1+6-y1-y2x1-x2(x-x2),假设直线HN过定点(-2,0),将(-2,0)代入,整理得-6(x1+x2)+2(y1+y2)+x

综上,可得直线HN过定点(-2,0).

2.(1)解根据双曲线的对称性可知P3(-210,3),P4(210,3)关于y轴对称,所以P3,P4必同时在双曲线上,而P2(0,4)不可能在双曲线x2a2

则双曲线还经过点P1(2,0),则4a2=1,即a2=4.将点P3(-210,3)代入x24-y2b2=1,有404-9

(2)证明(ⅰ)当直线l的斜率存在时,

设直线l的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),

联立y=kx+m,x24

由1-

x1+x2=8km1-4k2

因为P1(2,0),所以P1A=(x1-2,y1),P1B=(x

因为P1A⊥P1B,所以P1A·P1B=0,即(x1-2)(x2-2)+y1y2=0,所以x1x2-2(x1+x2)+4+(k)=0,即(1+k2)-2)(2=0,所以(1+k2)-4m2-41-4k2+(km-2)8km1-

当m=-2k时,直线l的方程为y=k(=-103k时,直线l的方程为y=kx-103,直线l过定点103,0,符合题意.

(ⅱ)当直线l的斜率不存在时,设l的方程为x=n(|n|2),设A(xA,yA),B(xB,yB).

由x=n

依题意,因为P1A⊥P1B,P1(2,0),所以|yA|=|n-2|,即yA2=(n-2)2,所以n24-1=n2-4n+4,即3n2-16n+20=0,解得n=2(舍去)或n=103,所以直线l的方程为x=103,直线l

综上所述,直线l经过一个不在双曲线C上的定点,定点的坐标为103,0.

3.解(1)设椭圆C的焦距为2c,则ca=22,

因为a2=b2+c2,所以b=c.

又|OP|·|FP|=2,|OP|=b,|FP|=a,所以ab=2,即2c2=2,即c=1,

所以a=2,b=1,所以椭圆C的标准方程为x22+y

(2)由题意,设直线MN:x=