2025届山东省七校高三上学期九月联考数学试卷.docVIP

2025届山东省七校高三上学期九月联考数学试卷

一、单选题

(★★)1.如图，已知矩形U表示全集，A、B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)2.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，，，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)3.已知点是抛物线上一点，若到抛物线焦点的距离为5，且到轴的距离为4，则（）

A．1或2

B．2或4

C．2或8

D．4或8

(★★★)4.圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4．已知P为该圆台某条母线的中点，若一质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则该质点运动的最短路径长为（）

A．

B．6

C．

D．

(★★★)5.将数字随机填入的正方形格子中，则每一横行?每一竖列以及两条斜对角线上的三个数字之和都相等的概率为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)6.定义：已知数列的首项，前项和为.设与是常数，若对一切正整数，均有成立，则称此数列为“”数列.若数列是“”数列，则数列的通项公式（）

A．

B．

C．

D．

(★★)7.在的展开式中，含的项的系数是7，则（）

A．1

B．2

C．3

D．4

(★★★)8.已知函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，若，且满足，则的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

二、多选题

(★★)9.欧拉公式（i为虚数单位，）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（）

A．的虚部为

B．

C．

D．的共轭复数为

(★★★)10.对于随机事件A，B，若，，，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★★★)11.如图，正方体的棱长为1，动点在对角线上，过作垂直于的平面，记平面与正方体的截面多边形（含三角形）的周长为，面积为，，下面关于函数和的描述正确的是（）

A．最大值为；

B．在时取得极大值；

C．在上单调递增，在上单调递减；

D．在上单调递增，在上单调递减

三、填空题

(★★★)12.《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深刻的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形，其中为正八边形的中心，则______.

(★★)13.已知数列满足，，，且，则______.

(★★★★)14.已知函数，若存在实数且，使得，则的最大值为__________.

四、解答题

(★★★)15.已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．

(1)证明：；

(2)若，求的取值范围．

(★★★)16.已知数列的前项和为，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

(★★★)17.如图，四边形为菱形，平面．

(1)证明：平面平面；

(2)若，二面角的大小为120°，求PC与BD所成角的余弦值．

(★★★)18.已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，点为上一点，周长为，其中为坐标原点．

(1)求的方程；

(2)直线与交于两点，

（i）求面积的最大值；

（ii）设，试证明点在定直线上，并求出定直线方程．

(★★★★)19.已知函数.

(1)当时，求的单调区间；

(2)若函数存在正零点，

（i）求的取值范围；

（ii）记为的极值点，证明：.