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2025届山东省七校高三上学期九月联考数学试卷
一、单选题
(★★)1.如图,已知矩形U表示全集,A、B是U的两个子集,则阴影部分可表示为()
A.
B.
C.
D.
(★★★)2.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”,即已知三角形三边长求三角形面积的公式:设三角形的三条边长分别为,,,则三角形的面积可由公式求得,其中为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足,,则此三角形面积的最大值为()
A.
B.
C.
D.
(★★)3.已知点是抛物线上一点,若到抛物线焦点的距离为5,且到轴的距离为4,则()
A.1或2
B.2或4
C.2或8
D.4或8
(★★★)4.圆台的上底面半径为1,下底面半径为2,母线长为4.已知P为该圆台某条母线的中点,若一质点从点P出发,绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P,则该质点运动的最短路径长为()
A.
B.6
C.
D.
(★★★)5.将数字随机填入的正方形格子中,则每一横行?每一竖列以及两条斜对角线上的三个数字之和都相等的概率为()
A.
B.
C.
D.
(★★★)6.定义:已知数列的首项,前项和为.设与是常数,若对一切正整数,均有成立,则称此数列为“”数列.若数列是“”数列,则数列的通项公式()
A.
B.
C.
D.
(★★)7.在的展开式中,含的项的系数是7,则()
A.1
B.2
C.3
D.4
(★★★)8.已知函数是定义在上的偶函数,且在区间单调递减,若,且满足,则的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
二、多选题
(★★)9.欧拉公式(i为虚数单位,)是由数学家欧拉创立的,该公式建立了三角函数与指数函数的关联,被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式,下列选项正确的是()
A.的虚部为
B.
C.
D.的共轭复数为
(★★★)10.对于随机事件A,B,若,,,则()
A.
B.
C.
D.
(★★★★)11.如图,正方体的棱长为1,动点在对角线上,过作垂直于的平面,记平面与正方体的截面多边形(含三角形)的周长为,面积为,,下面关于函数和的描述正确的是()
A.最大值为;
B.在时取得极大值;
C.在上单调递增,在上单调递减;
D.在上单调递增,在上单调递减
三、填空题
(★★★)12.《易经》是中华民族智慧的结晶,易有太极,太极生两仪,两仪生四象,四象生八卦,易经包含了深刻的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形,其中为正八边形的中心,则______.
(★★)13.已知数列满足,,,且,则______.
(★★★★)14.已知函数,若存在实数且,使得,则的最大值为__________.
四、解答题
(★★★)15.已知锐角中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若.
(1)证明:;
(2)若,求的取值范围.
(★★★)16.已知数列的前项和为,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
(★★★)17.如图,四边形为菱形,平面.
(1)证明:平面平面;
(2)若,二面角的大小为120°,求PC与BD所成角的余弦值.
(★★★)18.已知椭圆的两个焦点分别为,离心率为,点为上一点,周长为,其中为坐标原点.
(1)求的方程;
(2)直线与交于两点,
(i)求面积的最大值;
(ii)设,试证明点在定直线上,并求出定直线方程.
(★★★★)19.已知函数.
(1)当时,求的单调区间;
(2)若函数存在正零点,
(i)求的取值范围;
(ii)记为的极值点,证明:.
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