初中数学人教版八年级上册13.4最短路径问题.pptxVIP

学习目标

1.用轴对称解决最短路径问题

2.用平移解决造桥选址问题。

教学重点：掌握解决最短路径问题的方法思路

2024/2/8

合作探究

问题1:

牧童饮马问题：一个牧童从A点出发去B点，但路途中必须去河流l旁边饮马，如何规划路线最短。

2024/2/8

B

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步骤1:这是一个实际问题，你打算首先做什么?

将A,B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线.

.B

A·

l

2024/2/8

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步骤2:用自己的语言把它抽象为数学问题

在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A,B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和。

数学问题：设C为直线上的一

个动点，上面的问题就转化为：当点C在1的什么位置时，AC与CB的和最小(如图).

2024/2/8

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步骤3:将点B“移”到1的另一侧B′处，满足直线1上的任意一点C,都保持CB与CB′的长度相等。

作法：

(1)作点B关于直线l的对称点B;

(2)连接AB′,与直线l相交于点C.则点C即为所求。

B

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B

A

C

l

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步骤4:你能用所学的知识证明AC+BC最短吗?

证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C不重合),连接AC′,BC,B′C′

由轴对称的性质知，

BC=BC,BC′=BC

..AC+BC=AC+B′C=AB

AC+BC=AC+B′C

在△ABC′中，

ABAC+BC′,

∴AC+BCAC+BC

即AC+BC最短.

2024/2/8

合作探究

问题2:

如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥建在何处才能使从A到B的路径AM+MN+NB最短?(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)

A。

B

2024/2/8

合作探究

步骤1:如图假定任选位置造桥MN,连接AM和BN

从A到B的路径为AM+MN+BN

B

2024/2/8

合作探究

步骤2:能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢

B

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如图，平移A到A1,使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN,此时路径AM+M

N+BN最短.

A

A₁

M

N

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步骤2:能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢

理由：另任作桥M₁N₁,连接AM1,BN1,A₁N₁.

由平移性质可知，AM=A₁N,AA₁=MN=M₁N1,

AM₁=A₁N1.

AM+MN+BN转化为AA₁+A₁B,而AM₁+M₁N₁

+BN1转化为AA₁+A₁N₁+BN₁.

在△A₁N₁B中，由三角形三边关系得A₁N₁+BN₁A₁B

因此AM₁+M₁N₁+BN₁AM+MN+BN

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知识小结

知识点1用轴对称解决最短路径问题

求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置.

知识点2用平移解决造桥选址问题

我们把河的两岸看成两条平行线，把河的宽度作为固定的数值，桥的位置作为动点，通过平移使桥的一端与已知两点在同一条直线上时，

根据“两点之间线段最短”确定桥的一端的位置，