2023-2024学年深圳高级中学普通高中教育教学质量监测考试（1月）数学试题.doc

2023-2024学年深圳高级中学普通高中教育教学质量监测考试（1月）数学试题

注意事项

1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则

A． B．

C． D．

2．如图，网格纸是由边长为1的小正方形构成，若粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）

A． B． C． D．

3．设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且,则直线的斜率的最大值为()

A． B． C． D．1

4．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在，内的学生人数为（）

A．800 B．1000 C．1200 D．1600

5．若，则下列不等式不能成立的是（）

A． B． C． D．

6．已知集合，集合，则

A． B．或

C． D．

7．如图，在中，点，分别为，的中点，若，，且满足，则等于（）

A．2 B． C． D．

8．已知x,y满足不等式组,则点所在区域的面积是()

A．1 B．2 C． D．

9．已知，是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点.若依次构成等差数列，且，则椭圆的离心率为

A． B． C． D．

10．已知数列{an}满足a1=3，且a

A．22n-1+1 B．22n-1-1

11．如图所示，已知某几何体的三视图及其尺寸（单位：），则该几何体的表面积为()

A． B．

C． D．

12．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知双曲线的一条渐近线为,则焦点到这条渐近线的距离为_____．

14．已知数列{an}的前n项和为Sn，向量（4，﹣n），（Sn，n+3）.若⊥，则数列{}前2020项和为_____

15．已知关于的不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围为_________．

16．在中，角的平分线交于，，，则面积的最大值为__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）设函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若的最小值为，且，求的最小值．

18．（12分）已知椭圆的中心在坐标原点，其短半轴长为，一个焦点坐标为，点在椭圆上，点在直线上的点，且．

证明：直线与圆相切；

求面积的最小值．

19．（12分）如图，在平行四边形中，，，现沿对角线将折起，使点A到达点P，点M，N分别在直线，上，且A，B，M，N四点共面.

（1）求证：；

（2）若平面平面，二面角平面角大小为，求直线与平面所成角的正弦值.

20．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcosA﹣asinB＝1．

（1）求A；

（2）已知a＝2，B＝，求△ABC的面积．

21．（12分）已知函数

（1）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围；

（2）若函数对恒成立，求实数的取值范围.

22．（10分）已知函数，．

（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）求函数在上的最小值；

（Ⅲ）若函数，当时，的最大值为，求证：.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

因为，，

所以，，故选D．

2、C

【解析】

根据三视图还原为几何体，结合组合体的结构特征求解表面积.

【详解】

由三视图可知，该几何体可看作是半个圆柱和一个长方体的组合体，其中半圆柱的底面半圆半径为1，高为4，长方体的底面四边形相邻边长分别为1，2，高为4，所以该几何体的表面积，故选C.

【点睛】

本题主要考查三视图的识别，利用三视图还原成几何体是求解关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.

3、C

【解析】

试题分析：设，由题意，显然时不符合题意，故，则

，可得：

，当且仅当时取等号，故选C．

考点：1．抛物线的简单几何性质；2．均值不等式．

【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件，利用向量的运算可知，写出直线的斜率，注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问题