湘教版高考数学一轮总复习课后习题 课时规范练57 求空间角.docVIP

第PAGE6页共NUMPAGES8页

课时规范练57求空间角

1.已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,SD⊥平面ABCD,线段AB,SC的中点分别为E,F,若异面直线EC与BF所成角的余弦值为55,则SD=(

A.32 B.4 C.2

2.(多选题)三棱锥A-BCD中,平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1,n2,若n1=(1,0,0),n2=(-3,0,1),则二面角A-BD-C的大小可能为()

A.π6 B.π3 C.2π

3.(北京,16)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB=BC=1,PC=3.

(1)求证:BC⊥平面PAB;

(2)求二面角A-PC-B的大小.

4.(九省适应性测试,17)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,O为AC与BD的交点,AA1=2,∠C1CB=∠C1CD,∠C1CO=45°.

(1)证明:C1O⊥平面ABCD;

(2)求二面角B-AA1-D的正弦值.

5.(江苏苏锡常镇模拟)在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面A1B1BA⊥平面ABC,侧面A1B1BA为菱形,∠ABB1=π3,A1B⊥AC,AB=AC=2,E是AC的中点

(1)求证:A1B⊥平面AB1C;

(2)点P在线段A1E上(异于点A1,E),AP与平面A1BE所成角为π4,求EPE

6.(浙江温州模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为等腰梯形,AD∥BC,BC=2AD=2,∠PBA=∠CBA=60°.

(1)求证:平面PAB⊥平面PAC;

(2)若点M在线段PB上,且直线AD与平面MAC所成角的正弦值为34,求平面MBC与平面MAC夹角的余弦值

课时规范练57求空间角

1.B解析如图,以D为坐标原点,直线DA,DC,DS分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.不妨设SD=t(t0),则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),S(0,0,t),E(2,1,0),F0,1,t2,所以EC=(-2,1,0),BF=-2,-1,t2.因为异面直线EC与BF所成角的余弦值为55,所以|cosEC,BF|=|EC·BF|

2.AD解析由已知可得cosn1,n2=n1·n2|n1||n

3.(1)证明因为PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以PA⊥BC,同理PA⊥AB,

所以△PAB为直角三角形.

因为PB=PA2+AB2=2,BC=1,PC=3,所以PB2+BC2=PC2,则

又因为BC⊥PA,PA∩PB=P,PA,PB?平面PAB,所以BC⊥平面PAB.

(2)解由(1)得BC⊥平面PAB,又AB?平面PAB,则BC⊥AB,以A为坐标原点,直线AB为x轴,过点A且与BC平行的直线为y轴,直线AP为z轴,建立空间直角坐标系,如图,则A(0,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),B(1,0,0),

所以AP=(0,0,1),AC=(1,1,0),BC=(0,1,0),PC=(1,1,-1).

设平面PAC的法向量为m=(x1,y1,z1),

则m·AP

设平面PBC的法向量为n=(x2,y2,z2),

则n

令,n=m·

又二面角A-PC-B为锐二面角,

所以二面角A-PC-B的大小为π

4.(1)证明连接BC1,DC1.

因为底面ABCD是边长为2的正方形,所以BC=DC,又因为∠C1CB=∠C1CD,CC1=CC1,所以△C1CB≌△C1CD,所以BC1=DC1.

因为O为线段BD的中点,所以C1O⊥BD.

在△C1CO中,因为CC1=2,CO=12AC=2,∠C1CO=45°,所以cos∠C1CO=22=C1C2+OC2-C1O22×C1C×OC,所以C1O=2,则C

(2)解因为在正方形ABCD中,AC⊥BD,又C1O⊥平面ABCD,所以以点O为坐标原点,以直线OA,OB,OC1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系如图所示.

则B(0,2,0),D(0,-2,0),A(2,0,0),C(-2,0,0),C1(0,0,2),则AA1=CC1=(2,0,2),AB=(-2,2,0),AD=(-2,-2,0),设平面BAA1B1的法向量为m=(x1,y1,z1),平面DAA1D

由A

即2x

由A

取x2=1,则y2=-1,z2=-1,则n=(1,-1,-1).

设二面角B-AA1-D的大小为θ,

则|cosθ|=|m

所以sinθ=1-

所以二面角B-AA1-D的正弦值为2

5.(1)证明因为四边形A1B1BA为菱形,

所以A1B⊥AB1,

又因为A1B⊥AC,AB1,AC?平面AB1C,AB1∩AC=A,

所以A1B⊥平面AB