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北京市人民大学附属中学2023年高三下学期第二次线上月考数学试题
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.答题时请按要求用笔。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若函数有两个极值点,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
2.《九章算术》是我国古代数学名著,书中有如下问题:“今有勾六步,股八步,问勾中容圆,径几何?”其意思为:“已知直角三角形两直角边长分别为6步和8步,问其内切圆的直径为多少步?”现从该三角形内随机取一点,则此点取自内切圆的概率是()
A. B. C. D.
3.要得到函数的图象,只需将函数的图象上所有点的()
A.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位长度
B.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向右平移个单位长度
C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位长度
D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移个单位长度
4.已知实数、满足不等式组,则的最大值为()
A. B. C. D.
5.下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边、直角边,已知以直角边为直径的半圆的面积之比为,记,则()
A. B. C.1 D.
6.“”是“函数(为常数)为幂函数”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
7.若实数满足的约束条件,则的取值范围是()
A. B. C. D.
8.“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝,“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积,作一个边长为3的正方形将其包含在内,并向该正方形内随机投掷200个点,己知恰有80个点落在阴影部分据此可估计阴影部分的面积是()
A. B. C.10 D.
9.已知实数,则下列说法正确的是()
A. B.
C. D.
10.若表示不超过的最大整数(如,,),已知,,,则()
A.2 B.5 C.7 D.8
11.已知定义在上的奇函数满足:(其中),且在区间上是减函数,令,,,则,,的大小关系(用不等号连接)为()
A. B.
C. D.
12.执行下面的程序框图,如果输入,,则计算机输出的数是()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.某校共有师生1600人,其中教师有1000人,现用分层抽样的方法,从所有师生中抽取一个容量为80的样本,则抽取学生的人数为_____.
14.在的展开式中,各项系数之和为,则展开式中的常数项为__________________.
15.已知点是抛物线的焦点,,是该抛物线上的两点,若,则线段中点的纵坐标为__________.
16.已知椭圆与双曲线有相同的焦点、,其中为左焦点.点为两曲线在第一象限的交点,、分别为曲线、的离心率,若是以为底边的等腰三角形,则的取值范围为________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)如图,在直三棱柱中,,,D,E分别为AB,BC的中点.
(1)证明:平面平面;
(2)求点到平面的距离.
18.(12分)已知函数,.
(1)求函数的极值;
(2)当时,求证:.
19.(12分)对于非负整数集合(非空),若对任意,或者,或者,则称为一个好集合.以下记为的元素个数.
(1)给出所有的元素均小于的好集合.(给出结论即可)
(2)求出所有满足的好集合.(同时说明理由)
(3)若好集合满足,求证:中存在元素,使得中所有元素均为的整数倍.
20.(12分)在中,,是边上一点,且,.
(1)求的长;
(2)若的面积为14,求的长.
21.(12分)已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若不等式对恒成立,求实数的取值范围.
22.(10分)某公司打算引进一台设备使用一年,现有甲、乙两种设备可供选择.甲设备每台10000元,乙设备每台9000元.此外设备使用期间还需维修,对于每台设备,一年间三次及三次以内免费维修,三次以外的维修费用均为每次1000元.该公司统计了曾使用过的甲、乙各50台设备在一年间的维修次数,得到下面的频数分布表,以这两种设备分别在50台中的维修次数频率代替维修次数发生的概
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