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一题多解与一题多变

一题多解：开拓学生解题思路，沉淀学生的严谨思维；

一题多变：引导学生知识联系，培养学生的发散思维。

在高中数学教学中，对例题的讲解，要做到一题多解和一题多变。也就是先要做到从

不同的角度进行分析，用不同的方法来解决问题，这样能够开拓学生的解题思路，培养学

生分析问题和解决问题的能力。还要进行拓展廷伸，使学生掌握知识间的联系，培养学生

的发散思维。

问题一：设AB是抛物线y22px的弦，O为原点，若OA⊥OB，则直线AB恒过定点。证

明之。

分析：1、若过定点，则定点应在何处？

——根据对称性，应可猜想到定点应在x轴上。

2、怎样利用已知条件？

主要是OA⊥OB的作用：①

kOAkOB1

②设、，则

Ax1,y1Bx2,y2x1x2y1y20

3、可从那些方面入手？

①从设点的坐标入手

a2b2

由点A、B在抛物线上，可设点A,a、B,b，

2p2p

②从设直线AB的方程入手

1）设直线AB的方程为x=my+b2）设直线AB的方程为ax+by=1

1

③从OA⊥OB入手设OA的斜率为k，则OB的斜率为

k

方法一：

a2b2

设A,a、B,b，则OA、OB的

2p2pA

2p2p

斜率分别为、，由OA⊥OB

ab

得：ab4p2，又AB的斜率为∶

2p

k，∴AB方程为∶O

ab

2pa22pB

yax，即yx2p，

ab2pab

显然AB过定点（2p，0）。

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方法二∶

设直线AB的方程为x=my+b，（注意这样设直线方程有两大优点：①不必考虑斜率不存在，

2

②代入消x简便），代入抛物线的方程消x得：y2mpy2pb0

又设、，则，

Ax1,y1Bx2,y2y1y22pb

22

又y12px1,y22px2,

22

y1y22pb2

∴xx