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北京市西城区第三十一中学2022-2023学年高考冲刺四数学试题
注意事项
1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.如图,矩形ABCD中,,,E是AD的中点,将沿BE折起至,记二面角的平面角为,直线与平面BCDE所成的角为,与BC所成的角为,有如下两个命题:①对满足题意的任意的的位置,;②对满足题意的任意的的位置,,则()
A.命题①和命题②都成立 B.命题①和命题②都不成立
C.命题①成立,命题②不成立 D.命题①不成立,命题②成立
2.已知,则()
A.2 B. C. D.3
3.复数(i是虚数单位)在复平面内对应的点在()
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家?天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P表示π的近似值),若输入,则输出的结果是()
A. B.
C. D.
5.如图,长方体中,,,点T在棱上,若平面.则()
A.1 B. C.2 D.
6.由实数组成的等比数列{an}的前n项和为Sn,则“a10”是“S9S8”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.过双曲线的右焦点F作双曲线C的一条弦AB,且,若以AB为直径的圆经过双曲线C的左顶点,则双曲线C的离心率为()
A. B. C.2 D.
8.的展开式中的常数项为()
A.-60 B.240 C.-80 D.180
9.已知不重合的平面和直线,则“”的充分不必要条件是()
A.内有无数条直线与平行 B.且
C.且 D.内的任何直线都与平行
10.在边长为1的等边三角形中,点E是中点,点F是中点,则()
A. B. C. D.
11.已知三棱锥且平面,其外接球体积为()
A. B. C. D.
12.已知,复数,,且为实数,则()
A. B. C.3 D.-3
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为__________.
14.已知均为非负实数,且,则的取值范围为______.
15.若复数满足,其中是虚数单位,是的共轭复数,则________.
16.在中,角,,的对边分别为,,.若;且,则周长的范围为__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知直线的参数方程为(,为参数),曲线的极坐标方程为.
(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,并说明曲线的形状;
(2)若直线经过点,求直线被曲线截得的线段的长.
18.(12分)如图,在四棱锥中,底面是直角梯形且∥,侧面为等边三角形,且平面平面.
(1)求平面与平面所成的锐二面角的大小;
(2)若,且直线与平面所成角为,求的值.
19.(12分)已知函数.
(1)若在上是减函数,求实数的最大值;
(2)若,求证:.
20.(12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;
(2)设六月份一天
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