第六章 空间向量与立体几何（单元重点综合测试）（解析版）_1.docx

第六章空间向量与立体几何（单元重点综合测试）

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.已知空间向量a＝(1，n,2)，b＝(－2,1,2)，若2a－b与b垂直，则|a|等于()

A.eq\f(5\r(3),2)B.eq\f(3\r(5),2)

C.eq\f(\r(37),2)D.eq\f(\r(21),2)

【答案】B

【解析】因为a＝(1，n,2)，b＝(－2,1,2)，所以2a－b＝(4,2n－1,2)．

因为2a－b与b垂直，所以(2a－b)·b＝0，所以－8＋2n－1＋4＝0，

解得n＝eq\f(5,2)，所以a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,2)，2))，所以|a|＝eq\r(12＋22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2)＝eq\f(3\r(5),2).

2.已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为()

A．(1，－1,1) B．(2，－1,1)

C．(－2,1,1) D．(－1,1,1)

【答案】C

【解析】显然a与b不平行，设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，

则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a·n＝0，,b·n＝0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋z＝0，,5x＋6y＋4z＝0.))令z＝1，得x＝－2，y＝1.

所以n＝(－2,1,1)．

3.若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，且a与b的夹角的余弦值为eq\f(8,9)，则λ＝()

A.2 B.－2

C.－2或eq\f(2,55) D.2或－eq\f(2,55)

【答案】C

【解析】由题意，得cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(2－λ＋4,\r(5＋λ2)·\r(9))＝eq\f(8,9)，解得λ＝－2或λ＝eq\f(2,55).故选C.

4.已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(1，3，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于()

A.1 B.2

C.3 D.4

【答案】A

【解析】若向量a，b，c共面，则c＝xa＋yb，其中x，y∈R，

即(1，3，λ)＝(2x，－x，3x)＋(－y，4y，－2y)，即(1，3，λ)＝(2x－y，－x＋4y，3x－2y)，

∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＝1，,－x＋4y＝3，,3x－2y＝λ，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，,λ＝1.))故选A.

5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是()

A．(1，－2,4) B．(－4,1，－2)

C．(2，－2,1) D．(1,2，－2)

【答案】B

【解析】设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(1,0,2)，

所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝(0,2,1)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(－1,0,2)．设向量n＝(x，y，z)是平面AEF的法向量，

则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AE,\s\up6(→))＝2y＋z＝0，,n·\o(AF,\s\up6(→))＝－x＋2z＝0，))取y＝1，得x＝－4，z＝－2，

则n＝(－4,1，－2)是平面AEF的一个法向量．结合其他选项，检验可知只有B选项是平面AEF的法向量．

6.如图所示，在空间直角坐标系中，BC＝4，原点O是BC的中点，点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0))，点D在平面yOz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，则AD的长为()

A.eq\r(2) B.eq\r(3)

C.eq\r(5) D.eq\r(6)

【答案】D

【解析】因为点D在平面yOz内，所以点D的横坐标为0，又BC＝4，原点O是BC的中点，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，所以点D的竖坐标z＝4·sin30°·sin60°＝eq\r(3)，纵坐标y＝－(2－4·sin30°·cos60°)＝－1，所以D(0，－1，eq\r(3)).所以AD＝