第六章 幂函数、指数函数和对数函数（压轴题专练）（原卷版）_1.docx

第六章幂函数、指数函数、对数函数（压轴题专练）

题型一幂函数性质的综合应用

【例1】已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋1)－eq\f(m,3)(3－2a)－eq\f(m,3)的实数a的取值范围．

思维升华

幂函数y＝xα中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制α的取值．

巩固训练

1．已知幂函数y＝f(x)＝x－2m2－m＋3，其中m∈{m|－2m2，m∈Z}，满足：

(1)是区间(0，＋∞)上的增函数；

(2)对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0．

求同时满足(1)，(2)的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0，3]时f(x)的值域．

2．已知幂函数f(x)＝x－k2＋k＋2(k∈Z)在(0，＋∞)上为增函数．

(1)求实数k的值；

(2)试判断是否存在正数p，使函数g(x)＝1－pf(x)＋(2p－1)x在区间[－1，2]上的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－4，\f(17,8)))？若存在，求出p的值；若不存在，说明理由．

题型二指数函数的实际应用

【例2】某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0．1%，若初始溶液含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少eq\f(1,3)．

(1)写出杂质含量y与过滤次数n的函数关系式；

(2)过滤7次后的杂质含量是多少？过滤8次后的杂质含量是多少？至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？

思维升华

指数函数在实际问题中的应用

(1)与实际生活有关的问题，求解时应准确读懂题意，从实际问题中提取出模型转化为数学问题．

(2)在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后的总量y可以用y＝N(1＋p)x来表示，这是非常有用的函数模型．

巩固训练

1．有一种树木栽植五年后可成材．在栽植后五年内，年增加20%，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案：

甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐．

乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次．

请计算后回答：十年内哪一个方案可以得到较多的木材？(1．25≈2．49，1．15≈1．6，1．325≈4)

2．某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量f(x)(mg/mL)随时间x(h)变化的规律近似满足解析式f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x－2，0≤x≤1，,\f(3,5)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(x)，x1.))规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0．02mg/mL，据此可知，此驾驶员至少要过________h后才能开车(精确到1h)．

题型三指数型函数性质的综合应用

【例3】已知定义在R上的函数f(x)＝a＋eq\f(1,4x＋1)是奇函数．

(1)求a的值；

(2)判断f(x)的单调性(不需要写出理由)；

(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)0恒成立，求实数k的取值范围．

思维升华

解决指数函数性质的综合问题的注意点

(1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧．

(2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行．

(3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论．

巩固训练

1．已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x－1)＋\f(1,2)))·x3．

(1)求f(x)的定义域；

(2)讨论f(x)的奇偶性；

(3)证明：f(x)0．

2．已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(ax2－4x＋3)．

(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间；

(2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值．

题型四对数型函数性质的综合问题

【例4】求下列函数的值域．

(1)y＝log2(x2－4x＋6)；(2)y＝log2(x2－4x－5)．

思维升华

对于y＝logaf(x)型函数，在函数定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域．

题型五综合应用

【例5】已知函数f(x)＝logaeq\f(x＋1,x－1)(a0，a≠1)．

(1)求f(x)的定义域；

(2)判断函数f(x)的奇偶性，并求函数的单调区间．

思维升华

含对数式的函数奇偶性判断，一般用f(x)±f(－x)＝0来判断，运算相对简单．

巩固训练

1．已知f(x)＝log4(4x－1)．

(1)求f(x)的定义