第七章 计数原理（知识归纳+题型突破）（解析版）.docx

第七章计数原理（知识归纳+题型突破）

1.通过实例，了解分类计数原理、分步计数原理及其意义.

2.理解分类计数原理与分步计数原理.

3.进一步理解分类计数原理和分步计数原理的区别.

4.会正确应用这两个计数原理计数.

5.通过实例，理解排列的概念.

6.能利用计数原理推导排列数公式.

7.掌握几种有限制条件的排列.

8.能应用排列解决简单的实际问题.

9.通过实例理解组合的概念.

10.能利用计数原理推导组合数公式，并会解决简单的组合问题.

11.理解组合数的性质.能解决有限制条件的组合问题.

12.能解决有关排列与组合的简单综合问题.

13.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.

14.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.

15.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

16.理解二项式系数的性质并灵活运用.

分类计数原理

如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法……在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法.

(1)分类计数原理中各类方案相互独立，各类方案中的各种方法也相互独立，用任何一类方案中的任何一种方法都可以单独完成一件事.

(2)分类计数原理的使用关键是分类，分类必须明确标准，要求每一种方法必须属于某一类，不同类的任意两种方法是不同的，这是分类问题中所要求的“不重复”“不遗漏”.

2.分步计数原理

如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法.

(1)分步时，要先根据问题的特点确定一个分步的标准，一般地，标准不同，分成的步骤数也会不同.

(2)分步时还要注意：完成一件事必须连续完成n个步骤后这件事才算完成，各步骤之间既不能重复也不能遗漏.

3.分类计数原理和分步计数原理的联系

分类计数原理

分步计数原理

相同点

用来计算完成一件事的方法种类

不同点

分类完成，类类相加

分步完成，步步相乘

每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事

每步依次完成才算完成这件事(每步中的一种方法不能独立完成这件事)

注意点

类类独立，不重不漏

步步相依，步骤完整

排列的定义

一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

(1)要求m≤n.

(2)按照一定顺序排列，顺序不同，排列不同.

5.排列数公式

(1)一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Aeq\o\al(m,n)表示.

(2)排列数公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中n，m∈N*，且m≤n.

(3)n个不同元素全部取出的一个排列，叫作n个不同元素的一个全排列.在排列数公式中，当m＝n时，即有Aeq\o\al(n,n)＝n(n－1)(n－2)×…×3×2×1，n(n－1)(n－2)×…×3×2×1称为n的阶乘，通常用n！表示，即Aeq\o\al(n,n)＝n！.

(4)规定0！＝1.

排列数公式还可以写成Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,（n－m）！).

注意：(1)注意排列数公式的特征，m个自然数之积，其中最大的因数是n，最小的因数是n－m＋1.

(2)规定0！＝1，这是一种规定，不能按阶乘的定义作解释，但可以从更原始的概念作出说明：一个元素都不取，构成的排列的情形只有1种.

6.排列问题的方法

(1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素(又称为元素分析法)；或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置(又称位置分析法).

(2)间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不合要求的排列数.

7.组合的概念

一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

排列与组合的区别与联系

(1)共同点：两者都是从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象.

(2)不同点：排列与对象的顺序有关，组合与对象的顺序无关.

(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.

9.组合数及组合数公式

组合数定义及表示

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Ceq\o\al(m,n)表示

组合数公式

乘积

形式

Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)

阶