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北京市北方交通大学附属中学2023届高三下-期中考试数学试题试卷
考生请注意:
1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。
2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数在上有两个零点,则的取值范围是()
A. B. C. D.
2.已知,,若,则向量在向量方向的投影为()
A. B. C. D.
3.已知圆锥的高为3,底面半径为,若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上,则这个球的体积与圆锥的体积的比值为()
A. B. C. D.
4.正项等差数列的前和为,已知,则=()
A.35 B.36 C.45 D.54
5.已知函数,,若对任意,总存在,使得成立,则实数的取值范围为()
A. B.
C. D.
6.已知函数,且的图象经过第一、二、四象限,则,,的大小关系为()
A. B.
C. D.
7.下列函数中,在区间上为减函数的是()
A. B. C. D.
8.已知函数,为图象的对称中心,若图象上相邻两个极值点,满足,则下列区间中存在极值点的是()
A. B. C. D.
9.已知函数,将函数的图象向左平移个单位长度后,所得到的图象关于轴对称,则的最小值是()
A. B. C. D.
10.设递增的等比数列的前n项和为,已知,,则()
A.9 B.27 C.81 D.
11.达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图,画中女子神秘的微笑,,数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘,将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧,在嘴角处作圆弧的切线,两条切线交于点,测得如下数据:(其中).根据测量得到的结果推算:将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于()
A. B. C. D.
12.已知函数若对区间内的任意实数,都有,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.某部门全部员工参加一项社会公益活动,按年龄分为三组,其人数之比为,现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本,若组中甲、乙二人均被抽到的概率是,则该部门员工总人数为__________.
14.已知等比数列满足公比,为其前项和,,,构成等差数列,则_______.
15.设实数,满足,则的最大值是______.
16.在中,内角所对的边分别为,
若,的面积为,
则_______,_______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形.BC∥AD,AB=BC=CD=1,AD=2,,
(Ⅰ)证明;AC⊥BP;
(Ⅱ)求直线AD与平面APC所成角的正弦值.
18.(12分)已知函数
(Ⅰ)若,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)若在上恒成立,求实数的取值范围;
(Ⅲ)若数列的前项和,,求证:数列的前项和.
19.(12分)已知函数,函数.
(Ⅰ)判断函数的单调性;
(Ⅱ)若时,对任意,不等式恒成立,求实数的最小值.
20.(12分)已知函数.其中是自然对数的底数.
(1)求函数在点处的切线方程;
(2)若不等式对任意的恒成立,求实数的取值范围.
21.(12分)如图,四棱锥V﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,对角线AC与BD交于点O,VO⊥平面ABCD,E是棱VC的中点.
(1)求证:VA∥平面BDE;
(2)求证:平面VAC⊥平面BDE.
22.(10分)已知直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,且曲线的左焦点在直线上.
(Ⅰ)求的极坐标方程和曲线的参数方程;
(Ⅱ)求曲线的内接矩形的周长的最大值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.C
【解析】
对函数求导,对a分类讨论,分别求得函数的单调性及极值,结合端点处的函数值进行判断求解.
【详解】
∵,.
当时,,在上单调递增,不合题意.
当时,,在上单调递减,也不合题意.
当时,则时,,在上单调递减,时,,在上单调递增,又,所以在上有两个零点,只需即可,解得.
综上,的取值范围是.
故选C.
【点睛】
本题考查了利用导数解决函数零点的问题,考查了函数的单调性及极值问题,属于中档题.
2.B
【解析
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