湘教版高考数学一轮总复习课后习题 第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布 课时规范练56.docVIP

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课时规范练56

《素养分级练》P385

1.(山东泰安三模)已知随机变量X服从正态分布N(3,σ2),若P(X2)·P(X4)=136

A.13 B.14 C.1

答案:A

解析:因为随机变量X服从正态分布N(3,σ2),由对称性可知,P(X2)=P(X4),又P(X2)·P(X4)=136,所以P(X2)=P(X4)=16,故P(2X3)=

2.(山东济南历城二中检测)从一批含有13件正品,2件次品的产品中不放回地抽3次,每次抽取1件,设抽到的次品数为ξ,则E(5ξ+1)=()

A.2 B.1 C.3 D.4

答案:C

解析:ξ的可能取值为0,1,2.

P(ξ=0)=C13

P(ξ=1)=C2

P(ξ=2)=C2

∴ξ的分布列为

ξ

0

1

2

P

22

12

1

于是E(ξ)=0×2235+1×1235+2×135

3.(东北师大附中高三开学考试)下图是一块高尔顿板示意图.在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉,小木钉之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃,将小球从顶端放入,小球在下落过程中,每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下,最后落入底部的格子中,格子从左到右分别编号为1,2,3,4,5,6,用X表示小球落入格子的号码,假定底部6个格子足够长,投入160粒小球,则落入3号格的小球大约有粒.?

答案:50

解析:设A=“向右下落”,则A=“向左下落”,且P(A)=P(A)=12

∵小球下落过程中共碰撞5次,

∴Y~B5,12,

∴P(Y=k)=P(X=k+1)=C5k12k1-125-k=C5

∴P(X=3)=C52125=5

4.(河北唐山一模)为了监控某种食品的生产包装过程,检验员每天从生产线上随机抽取k(k∈N+)包食品,并测量其质量(单位:g).根据长期的生产经验,这条生产线正常状态下每包食品质量服从正态分布N(μ,σ2).假设生产状态正常,记ξ表示每天抽取的k包食品中其质量在(μ-3σ,μ+3σ)之外的包数,若ξ的数学期望E(ξ)0.05,则k的最小值为.?

附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则在区间(μ-3σ,μ+3σ)内的概率约为99.73%.

答案:19

解析:依题意P(μ-3σXμ+3σ)≈0.9973,所以在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率P=1-0.9973=0.0027,则ξ~B(k,0.0027),则E(ξ)=0.0027k,因为E(ξ)0.05,所以0.0027k0.05,解得k50027≈18.52,因为k∈N+

5.(广东广州一模)某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“AI作业”项目,并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试.经过一个阶段的试用,为了解“AI作业”对学生学习的促进情况,该公司随机抽取了200名学生,对他们的“向量数量积”知识点掌握的情况进行调查,样本调查结果如下表:

掌握情况

甲校

乙校

使用AI作业

不使用AI作业

使用AI作业

不使用AI作业

基本掌握

32

28

50

30

没有掌握

8

14

12

26

假设每位学生是否掌握“向量数量积”知识点相互独立.

(1)从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生,用ξ表示抽取的2名学生中使用“AI作业”的人数,求ξ的分布列和数学期望;

(2)用样本频率估计概率,从甲校高一学生中抽取一名使用“AI作业”的学生和一名不使用“AI作业”的学生,用“X=1”表示该名使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”知识点,用“X=0”表示该名使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”知识点,用“Y=1”表示该名不使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”知识点,用“Y=0”表示该名不使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”知识点.比较方差D(X)和D(Y)的大小关系.

解:(1)依题意,ξ=0,1,2,

且P(ξ=0)=C20

P(ξ=1)=C20

P(ξ=2)=C20

所以ξ的分布列为

ξ

0

1

2

P

26

80

19

故E(ξ)=1×80177+2×19

(2)由题意,易知X服从二项分布X~B1,45,D(X)=45×15=425,Y服从二项分布Y~B1,

6.(福建厦门模拟)某公司全年圆满完成预定的生产任务,为答谢各位员工一年来的锐意进取和辛勤努力,公司决定在联欢晚会后,拟通过摸球兑奖的方式对500位员工进行奖励,规定:每位员工从一个装有4张奖券的箱子中,一次随机摸出2张奖券,奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额.

(1)若箱子中所装的4张奖券中有1张面值为80元,其余3张均为40元,试比较员工获得80元奖励与获得120元奖励的概率的大小;

(2)公司对奖励总额的