湘教版高中数学必修第二册课后习题 第1章 平面向量及其应用 1.3 向量的数乘.docVIP

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1.3向量的数乘

A级必备知识基础练

1.(多选题)在△ABC中,AE=13AB,

A.AE=13(-a-b)

C.DE=13(b-a)

2.如图,在正方形ABCD中,E是DC的中点,F是BC上靠近点B的一个三等分点,那么EF=()

A.12AB

C.13AB

3.已知向量AB=a+2b,BC=5a+3b,CD=-3a+b,则 ()

A.A,B,D三点共线

B.A,B,C三点共线

C.A,C,D三点共线

D.B,C,D三点共线

4.在△ABC中,O为其内部一点,且满足OA+OC+3OB=0,则△AOB和

A.3∶4 B.3∶2

C.1∶1 D.1∶3

5.[河南高一]化简:12(2a-b)-3(13a+b)+2(a-2b)=

6.已知a与b是两个不共线的向量,且向量(a+λb)与(b-3a)共线,则λ的值为.?

7.若AB=5e,CD=-7e,且|AD|=|BC|,则四边形ABCD的形状是.?

8.如图,已知D,E分别为△ABC的边AB,AC的中点,延长CD到M使DM=CD,延长BE至N使BE=EN,求证:M,A,N三点共线.

9.(1)已知a=3i+2j,b=2i-j,求(13a-b)-(a-23b

(2)已知向量a,b,且5x+2y=a,3x-y=b,求x,y.

B级关键能力提升练

10.(多选题)[吉林高一校考期末]已知A,B,C是三个不同的点,OA=a-b,OB=2a-3b,OC=3a-5b,则下列结论正确的是()

A.AC=2AB B.AB

C.AC=3BC D.A,B,C三点共线

11.如图,在直角梯形ABCD中,已知AB∥CD,∠BAD=90°,AD=AB=2,CD=1,动点P在线段BC上运动(包含点C,不包含点B),且AP=mAB+nAD(m,n∈R),则1m

A.3 B.3+22

C.4 D.4+22

12.在平行四边形ABCD中,DE=12EC,BF=FC,若AC=λ

13.在△ABC中,P是AB上一点,且CP=23CA+

14.已知在△OBC中,A是线段BC的中点,D是线段OB的一个三等分点(靠近点B),设AB=a,AO=b.

(1)用向量a与b表示向量OC;

(2)若OE=

C级学科素养创新练

15.如图,F为线段BC的中点,CE=2EF,DF=35AF,设AC=a,AB=b,试用a,b表示AE

1.3向量的数乘

1.AC因为AE=13AB

所以AB=AC+CB=-b-a,

所以AE=13AB=13

2.DEF=

3.A∵向量BD=BC+

∴BD=2AB,即A,B,D三点共线.

4.D取AC的中点M(图略),则由OA+OC+3OB=0,得2OM=-3OB,所以2|OM|=3|OB|,点O在线段BM上.因此S△AOB∶S△AOC=S△AOB∶2S△AOM=|OB|∶2|OM|=1

5.2a-152b12(2a-b)-3(13a+b)+2(a-2b)=a-1

6.-13

即a+λb=kb-3ka,∴(1+3k)a=(k-λ)b.

∵a,b不共线,∴1+3k=0,k-

7.等腰梯形由已知得AB=-57CD,因此AB∥CD,且|AB|≠|CD|,所以四边形ABCD是梯形.又因为|

8.证明∵D为MC的中点,且D为AB的中点,

∴AB=AM+AC

同理可证明AN=AC-AB=BC

∴AM,AN共线,又

∴M,A,N三点共线.

9.解(1)原式=13a-b-a+23b+2b-a=13-1-1

∵a=3i+2j,b=2i-j,∴原式=-53(3i+2j)+53(2i-j)=-5+103

(2)将3x-y=b两边同乘2,得6x-2y=2b.

与5x+2y=a相加,得11x=a+2b,∴x=111a+2

∴y=3x-b=3111a+211b

10.ABD由题可得AB=OB-OA=a-2b,

∴AC=2AB,故A正确;AB=BC,故B正确;AC=2

由AC=2AB可得AC∥AB,故A,B,C三点共线,故D正确.

故选ABD.

11.C因为点P在线段BC上运动(包含点C,不包含点B),则BP=λBC(0λ≤1),

则AP=AB+BP=AB+λBC=AB+λ(BA+AD+DC)=AB+λ(-

所以m=1-12

则1m+2n=11-1

当且仅当2-

故1m

12.75由平面向量的加法运算,有AC

因为AC=λAE+μAF=λ(AD+DE)+μ(AB+BF)=λ(AD+13AB)+μ(AB+12AD

所以AB+AD=λ3+μAB+λ+μ2AD,即(1-λ3-μ

∴λ3+μ=1,λ+μ

13.解∵CP=

∴3CP=2CA+CB,即2CP-2

∴2AP=

∵A,M,Q三点共线,

∴设CM=xCQ+(1-x)CA=