第三章 幂、指数与对数（3大知识归纳+4大题型突破）（解析版）_1.docx

第三章幂、指数与对数

（知识归纳+题型突破）

一、根式

（1）根式的概念

若，则叫做的次方根，其中且.式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.

（2）的次方根

二、有理数指数幂

幂的概念

正分数指数幂

负分数指数幂：

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义

有理数指数幂的性质

三、指数幂的拓展

对任意给定的正数及实数，前述的指数幂的三个运算性质仍然成立，即有

对任意给定的正数及实数，成立

，

，

.

幂的基本不等式：

定理当，，恒成立.

三、对数

1．对数的概念：

一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：，其中叫做对数的底数，叫做真数.

【注意】负数和零没有对数，即.

②底数的限制：且.

2．指数与对数的互化

幂底数←→对数底数

指数←→对数

幂←→真数

3．对数的形式

①常用对数：以10为底的对数，简记为.?

②自然对数：以无理数=2.71828…为底的对数，简记为.?

③一般对数：.?

4．对数运算

（1）基本性质

①0和负数没有对数，即；②1的对数是0，即；

③底数的对数等于1，即；④对数恒等式：.

（2）运算法则

如果，则

①；②；

③（）；④；=5\*GB3⑤.

5．换底公式

若，且，且，，则.

【两个常用推论】

（1）

（2）（且）

题型一：幂、指数与对数运算、化简、求值

例1.1（2022·上海·校考）用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）：

（1）； （2）；

（3）； （4）.

【答案】（1）；（2）；

（3）ab；（4）

例1.2（2023·上海·校考）求下列各式的值：

（1）； （2）； （3）.

【答案】（1）由，得；

（2）由，得；

（3）.

【巩固练习】

1.（2023·上海·校考）化简：________.

【答案】

2．（2020·上海·校考）求下列各式的值：

（1）； （2）；

（3）； （4）；

（5）； （6）.

【答案】（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

题型二：给定指对数式的字母表示，将其他指对数式用字母表示

例2.1（2022·上海虹口·高一期末）已知，则________.

【答案】1

【解析】首先利用指数和对数互化得到，，再利用换地公式即可得到答案。

【详解】由可知，，

所以.

故答案为：

例2.2（1）设，试用含有的代数式表示；

（2）设，，试用、表示；

（3）设，，试用、表示.

【答案】（1）

（2），

（3），

【巩固练习】

1．（2022·上海徐汇·高一期末）若，则用含x的代数式表示为___________.

【答案】##

【分析】将指数式化为对数式，再根据对数的运算性质可求出结果.

【详解】因为，所以，

所以.

故答案为：

2．（2022·上海市复兴高级中学高一阶段练习）已知，，，则______

【答案】

【分析】根据换底公式得到，，，进而求出，再用换底公式求出.

【详解】由，，得：，，，，所以

故答案为：

3．（2022·上海市延安中学高一期末）已知，，则___________（用a?b表示）.

【答案】##

【分析】根据对数的运算性质可得，再由指对数关系有，，即可得答案.

【详解】由，又，，

∴，，故.

故答案为：.

4.（2020·华东师范大学第一附属中学）设，则用表示（）.

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由，所以

故选：B

5.若10x=3,10y=4

A.-1 B.1 C.2716

【答案】C?

【解析】【分析】

本题主要考查指数幂的运算性质，属于基础题．

由指数幂的运算性质可知103

【解答】

解：103x-2y

题型三：指数幂与乘法公式结合问题

例3已知x12+x-12

【答案】-1

【解析】

本题主要考查指数幂的运算，属于基础题．

可结合x12+

【解答】解：由已知可得x+x-1=(x12+x-12

【巩固练习】

1.已知x+x-1=3

A.3 B.5 C.7 D.9

【答案】C?

【解析】

本题考查指数幂的化简求值，属于基础题．

将x+

【解答】

解：因为x+

所以，两边平方可得x2

所以x2

故选C．

2.若x+1x=4,则

A.10 B.15 C.115 D.

【答案】C?

【解析】

本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解决本题的关键．

将已知等式两边平方，利用完全平方公式化简求出x2+1