第三章 幂、指数与对数（3大知识归纳+4大题型突破）（原卷版）_1.docx

第三章幂、指数与对数

（知识归纳+题型突破）

一、根式

（1）根式的概念

若，则叫做的次方根，其中且.式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.

（2）的次方根

二、有理数指数幂

幂的概念

正分数指数幂

负分数指数幂：

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义

有理数指数幂的性质

三、指数幂的拓展

对任意给定的正数及实数，前述的指数幂的三个运算性质仍然成立，即有

对任意给定的正数及实数，成立

，

，

.

幂的基本不等式：

定理当，，恒成立.

三、对数

1．对数的概念：

一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：，其中叫做对数的底数，叫做真数.

【注意】负数和零没有对数，即.

②底数的限制：且.

2．指数与对数的互化

幂底数←→对数底数

指数←→对数

幂←→真数

3．对数的形式

①常用对数：以10为底的对数，简记为.?

②自然对数：以无理数=2.71828…为底的对数，简记为.?

③一般对数：.?

4．对数运算

（1）基本性质

①0和负数没有对数，即；②1的对数是0，即；

③底数的对数等于1，即；④对数恒等式：.

（2）运算法则

如果，则

①；②；

③（）；④；=5\*GB3⑤.

5．换底公式

若，且，且，，则.

【两个常用推论】

（1）

（2）（且）

题型一：幂、指数与对数运算、化简、求值

例1.1（2022·上海·校考）用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）：

（1）； （2）；

（3）； （4）.

例1.2（2023·上海·校考）求下列各式的值：

（1）； （2）； （3）.

【巩固练习】

1.（2023·上海·校考）化简：________.

2．（2020·上海·校考）求下列各式的值：

（1）； （2）；

（3）； （4）；

（5）； （6）.

题型二：给定指对数式的字母表示，将其他指对数式用字母表示

例2.1（2022·上海虹口·高一期末）已知，则________.

例2.2（1）设，试用含有的代数式表示；

（2）设，，试用、表示；

（3）设，，试用、表示.

【巩固练习】

1．（2022·上海徐汇·高一期末）若，则用含x的代数式表示为___________.

2．（2022·上海市复兴高级中学高一阶段练习）已知，，，则______

3．（2022·上海市延安中学高一期末）已知，，则___________（用a?b表示）.

4.（2020·华东师范大学第一附属中学）设，则用表示（）.

A． B． C． D．

5.若10x=3,10y=4

A.-1 B.1 C.2716

题型三：指数幂与乘法公式结合问题

例3已知x12+x-12

【巩固练习】

1.已知x+x-1=3

A.3 B.5 C.7 D.9

2.若x+1x=4,则

A.10 B.15 C.115 D.

题型四：指、对数运算性质综合应用

例4.1设均为正实数，且，求的最大值.

例4.2已知方程的两个实根分别为、，求的值.

【巩固练习】

1.若，则的值是________.

2.如果，那么________.

3.若正实数、、均不为1，满足，且，则的值为________.

4.已知，求的值.

5.设实数，，求的最小值.