苏教版高中数学选择性必修第一册课后习题 第三章 圆锥曲线与方程 3.2.2 双曲线的几何性质.docVIP

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3.2.2双曲线的几何性质

A级必备知识基础练

1.若双曲线x2-y2

A.4 B.14 C.-4 D.-

2.(多选题)设双曲线的渐近线方程为y=±12

A.52 B.

C.5 D.25

3.已知双曲线C:x2a2

A.y=±14x B.y=±1

C.y=±12x

4.已知双曲线C:x2a

A.x220-y

C.x280-y

5.如图,双曲线C:x29-y210=1的左焦点为F1,双曲线上的点P1与P2关于y轴对称,则P2F

A.3 B.4 C.6 D.8

6.(广东东莞检测)已知双曲线C的离心率为3,F1,F2是C的左、右焦点,P为C上一点,PF1=3PF2,若△PF1F2的面积为42,则双曲线C的实轴长为()

A.1 B.2 C.4 D.6

7.两个正数a,b的和为5,积为6,且ab,则双曲线x2a2-y

8.双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点为F1,F2(F1F2=2c),以坐标原点O为圆心,以c为半径作圆A,圆A与双曲线C的一个交点为P,若△F

9.求符合下列条件的双曲线的标准方程:

(1)两顶点间的距离是6,两焦点所连线段被两顶点和中心四等分;

(2)渐近线方程为2x±3y=0,且两顶点间的距离是6.

10.过双曲线C:x2

B级关键能力提升练

11.如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点,若M,O,N将椭圆的长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是()

A.3 B.2 C.3 D.2

12.(多选题)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F

A.3 B.2 C.5 D.3

13.设双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A1,A2,过F作A1A

A.y=±12x B.y=±2

C.y=±x D.y=±2x

14.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过点F的直线l与双曲线E相交于A,B两点,且线段AB的中点为N(-12,-15),则双曲线E的方程为()

A.x23-y

C.x26-y

15.双曲线x29-y2

16.已知双曲线C1:x2-y2

(1)求与双曲线C1有相同的焦点,且过点P(4,3)的双曲线C2的标准方程;

(2)直线l:y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A,B两点,当OA·

C级学科素养创新练

17.已知双曲线C:x2a2-y2b

(1)求双曲线C的方程;

(2)记O为坐标原点,过点Q(0,2)的直线l与双曲线C交于不同的两点E,F,若△OEF的面积为22,求直线l的方程.

参考答案

3.2.2双曲线的几何性质

1.A双曲线x2-y2k=1的一条渐近线的斜率是-2,可得

2.AC当焦点在x轴上时,ba

所以e2=1+b2a2=1+1

当焦点在y轴上时,ab

所以e2=1+b2a2

3.C已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为

故双曲线C的渐近线方程为y=±12

4.A双曲线C的渐近线方程为x2a2-y2b2

又a2+b2=c2=25,解得b2=5,a2=20.故选A.

5.C设F2为右焦点,连接P2F2(图略),

由双曲线的对称性,知P1F1=P2F2,

所以P2F1-P1F1=P2F1-P2F2=2×3=6.

6.C由题意知,点P在右支上,则PF1-PF2=2a,

又PF1=3PF2,∴PF1=3a,PF2=a.

又e=ca=3,∴F1F2

在△PF1F2中,cos∠F1PF2=9a2+

∴sin∠F1PF2=22

故S△PF1F

∴实轴长为2a=4.故选C.

7.133y=±23x由a

又ab,∴a=3,b=2,∴c=13,∴e=ca

渐近线方程为y=±23

8.2不妨设P为右支上一点,PF1=m,PF2=n,

由双曲线的定义可得m-n=2a.

由题意可得△PF1F2为直角三角形,且∠F1PF2=90°,可得m2+n2=4c2,且12mn=a2,由(m-n)2=m2+n2-2mn=4c2-4a2=4a2,所以c2=2a2,即c=2a,可得e=c

9.解(1)由两顶点间的距离是6,得2a=6,即a=3.

由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c=4a=12,即c=6,于是有b2=c2-a2=62-32=27.

由于焦点所在的坐标轴不确定,故所求双曲线的标准方程为x29-

(2)设双曲线方程为4x2-9y2=λ(λ≠0),即x2

当λ0时,λ4=9,λ=36,双曲线方程为x

当λ0时,-λ9=9,λ=-81,双曲线方程为

故所求双曲线的标准方程为x29-

10.解如图所示,不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为ba

又直线l过右焦点F(c,0),

则直线l的方