2021年北京大学强基计划校测数学模拟试题及答案 .pdfVIP

2021年北京大学强基计划校测数学模拟试题及答案--第1页

北京大学2020年强基计划校测笔试数学模拟试题1

本卷共6大题，限时80分钟、每个题目25分、总分150分

1、让n名男生和n名女生站成一行，对于每个学生X，X有一些糖果，糖果的树木恰等于数对(a,b)的数目，

其中，数对(a,b)表示a，b是与X不同性别的且X是站在a，b中间的。证明：n名男生和n名女生手中的

糖果数目不超过n(n²-1)/3。

2、已知开口向上的抛物线y=ax²交双曲线xy=1于点T，两条曲线的公切线分别切抛物线、双曲线于点P，

Q。下面我们研究△PQT。

(1)找到△PQT的某两条中线，其夹角为定值，并求出这个夹角。

(2)求△PQT的面积。

3、已知圆内接四边形ABCD,CB与DA的延长线交于点P,延长BP到点Q,使得PQ=BP,且四边形CAQR及四

边形DBCS均为平行四边形.证明:C、R、Q、S四点共圆.

4、已知数列{a}满足

n

证明，对任何正整数n都有2a≥7a

n+1n

5、对于整数n(n≥3),设f(n)是平面上无三点共线的n个点中能够组成的等腰三角形的数目的最大值.证明:

存在正数a、b,使得对于所有的n有an²f(n)bn².

6、设n为正整数.证明:若n的所有正因子之和为2的整数次幂,则这些正因子的

个数也为2的整数次幂.

1

2021年北京大学强基计划校测数学模拟试题及答案--第1页

2021年北京大学强基计划校测数学模拟试题及答案--第2页

北京大学强基计划校测笔试数学模拟试题1

参考答案

1、证明用字母b、g分别表示男生和女生。

nnn

若在这一排中的名男生和名女生的排列为个连续的由1名男生和1名女生组成的数对，则所有糖

1

2

n（n1）

块数目为。称此排列为“最优排列”。

3

任何其他排列是以下形式中的中：

(bg)(bg)(gb)()gggb或(bg)(bg)(gb)()bbbg①





t2个t2个

易知，移动一名女生或一名男生如排列②

(bg)(bg)(gb)()gggb或(bg)(bg)(gb)()bbbgb





（t1）个（t1）个

则糖果的数目增加。

1

2

n（n