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2025届河北省五校高三上学期第一次联合测评数学试卷
一、单选题
(★★)1.已知,则()
A.
B.
C.
D.
(★★)2.已知数列,,且,则()
A.
B.2
C.
D.
(★★★)3.已知向量,,则在向量上的投影向量为()
A.
B.
C.
D.
(★★★)4.已知,,则()
A.
B.
C.
D.
(★)5.据史书记载,古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成,如图所示,据《孙子算经》记载,算筹记数法则是:凡算之法,先识其位,一纵十横,百立千僵,千十相望,万百相当.即在算筹计数法中,表示多位数时,个位用纵式,十位用横式,百位用纵式,千位用横式,以此类推.例如⊥‖表示62,=T表示26,现有6根算筹,据此表示方式任意表示两位数(算筹不剩余且个位不为0),则这个两位数不小于50的概率为()
A.
B.
C.
D.
(★★)6.若,则的最小值为()
A.
B.
C.
D.
(★★)7.已知抛物线,为直线上一点,过作抛物线的两条切线,切点分别为,则的值为()
A.0
B.1
C.-2
D.-1
(★★)8.已知函数在内有最小值点,则实数的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
二、多选题
(★★)9.已知复数z满足,则下列说法正确的是()
A.z的虚部为i
B.
C.若复数,满足,且,则
D.若复数满足,则在复平面内对应的点构成图形的面积为2π
(★★★)10.设都是定义在上的奇函数,且为单调函数,,若对任意有(为常数),,则()
A.
B.
C.为周期函数
D.
(★★★★)11.在棱长为1的正方体中,为棱上一点,且,为正方形内一动点(含边界),则下列说法中正确的是()
A.若∥平面,则动点的轨迹是一条长为的线段
B.存在点,使得⊥平面
C.三棱锥的最大体积为
D.若,且与平面所成的角为,则的最大值为
三、填空题
(★★★)12.若,则______.
(★★★)13.已知点是双曲线左支上一点是双曲线的左、右两个焦点,且与两条渐近线相交于两点(如图),点恰好平分线段,则双曲线的离心率是______.
(★★★★)14.若函数在上有两个零点,则m的取值范围是______.
四、解答题
(★★)15.数列满足:,;设
(1)证明是等比数列,并求的通项公式;
(2)求的前项和.
(★★★)16.2024年7月26日,第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎正式开幕.人们在观看奥运比赛的同时,开始投入健身的行列.某兴趣小组为了解成都市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况,随机从抽取200人进行调查,得到如下列联表:
年龄
周平均锻炼时长
合计
周平均锻炼时间少于4小时
周平均锻炼时间不少于4小时
50岁以下
40
60
100
50岁以上(含50)
25
75
100
合计
65
135
200
(1)试根据的独立性检验,分析周平均锻炼时长是否与年龄有关?精确到0.001;
(2)现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时,用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈,再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为,求的分布列和数学期望.
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
参考公式及数据:,其中.
(★★★★)17.如图,在四棱锥中,平面,与底面所成角为,四边形是梯形,.
(1)证明:平面平面;
(2)若点T是的中点,点M是的中点,求点P到平面的距离.
(3)点是线段上的动点,上是否存在一点M,使平面,若存在,求出M点坐标,若不存在,请说明理由.
(★★★★)18.已知椭圆的右焦点为,离心率为,直线经过点,且与相交于,两点,记的倾斜角为.
(1)求的方程;
(2)求弦的长(用表示);
(3)若直线也经过点,且倾斜角比的倾斜角大,求四边形面积的最小值.
(★★★★★)19.已知函数.
(1)当时,求函数的极值;
(2)若函数有唯一的极值点.
①求实数取值范围
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