2025届河北省五校高三上学期第一次联合测评数学试卷.docVIP

2025届河北省五校高三上学期第一次联合测评数学试卷

一、单选题

(★★)1.已知，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★)2.已知数列，，且，则（）

A．

B．2

C．

D．

(★★★)3.已知向量，，则在向量上的投影向量为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)4.已知，，则（）

A．

B．

C．

D．

(★)5.据史书记载，古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成，如图所示，据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当．即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推．例如⊥‖表示62，＝T表示26，现有6根算筹，据此表示方式任意表示两位数（算筹不剩余且个位不为0），则这个两位数不小于50的概率为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)6.若，则的最小值为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)7.已知抛物线，为直线上一点，过作抛物线的两条切线，切点分别为，则的值为（）

A．0

B．1

C．-2

D．-1

(★★)8.已知函数在内有最小值点，则实数的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

二、多选题

(★★)9.已知复数z满足，则下列说法正确的是（）

A．z的虚部为i

B．

C．若复数，满足，且，则

D．若复数满足，则在复平面内对应的点构成图形的面积为2π

(★★★)10.设都是定义在上的奇函数，且为单调函数，，若对任意有(为常数)，，则（）

A．

B．

C．为周期函数

D．

(★★★★)11.在棱长为1的正方体中，为棱上一点，且，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（）

A．若∥平面，则动点的轨迹是一条长为的线段

B．存在点，使得⊥平面

C．三棱锥的最大体积为

D．若，且与平面所成的角为，则的最大值为

三、填空题

(★★★)12.若，则______．

(★★★)13.已知点是双曲线左支上一点是双曲线的左、右两个焦点，且与两条渐近线相交于两点（如图），点恰好平分线段，则双曲线的离心率是______．

(★★★★)14.若函数在上有两个零点，则m的取值范围是______．

四、解答题

(★★)15.数列满足：，；设

(1)证明是等比数列，并求的通项公式；

(2)求的前项和.

(★★★)16.2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎正式开幕.人们在观看奥运比赛的同时，开始投入健身的行列.某兴趣小组为了解成都市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机从抽取200人进行调查，得到如下列联表：

年龄

周平均锻炼时长

合计

周平均锻炼时间少于4小时

周平均锻炼时间不少于4小时

50岁以下

40

60

100

50岁以上（含50）

25

75

100

合计

65

135

200

(1)试根据的独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？精确到0.001；

(2)现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为，求的分布列和数学期望.

0.1

0.05

0.01

0.005

0.001

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828

参考公式及数据：，其中.

(★★★★)17.如图，在四棱锥中，平面，与底面所成角为，四边形是梯形，．

(1)证明：平面平面；

(2)若点T是的中点，点M是的中点，求点P到平面的距离．

(3)点是线段上的动点，上是否存在一点M，使平面，若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由．

(★★★★)18.已知椭圆的右焦点为，离心率为，直线经过点，且与相交于，两点，记的倾斜角为.

(1)求的方程；

(2)求弦的长（用表示）；

(3)若直线也经过点，且倾斜角比的倾斜角大，求四边形面积的最小值.

(★★★★★)19.已知函数.

(1)当时，求函数的极值；

(2)若函数有唯一的极值点.

①求实数取值范围