专题14平行线之子弹模型-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案(原卷版+解析).docxVIP

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题14平行线之子弹模型

解题策略

解题策略

经典例题

经典例题

【例1】（2022春?长沙期中）问题情境

我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．

已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF．

问题初探

（1）如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，求∠EMC的度数．

分析：过点C作CH∥GF．则有CH∥DE，从而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数．

由分析得，请你直接写出：∠CAF的度数为，∠EMC的度数为．

类比再探

（2）若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想写∠CAF与∠EMC的数量关系，并说明理由．

（3）请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（3）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．

【例2】（2022春?莆田期末）李想是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一块含有60°的直角三角板摆放在一组平行线上展开探究．已知直线EF∥GH，直角三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，点C为直线EF上一定点．将直角三角板ABC绕点C转动，当点A在直线GH上时，点B也恰好在直线GH上．

（1）如图1，求∠ECB的度数；

（2）如图2，若点A在直线EF上方，点B在GH下方，BC与GH交于点Q，作∠ACE的角平分线并反向延长与∠CQH的角平分线交于点O．在直角三角板ABC绕点C转动的过程中，∠O的度数是否保持不变？若不变，求出∠O的度数；否则，请说明理由；

（3）如图3，直角三角板ABC绕点C转动，若点A在直线EF，GH之间（不含EF，GH上），点B在GH下方，AB，BC分别与GH交于点P，Q．设∠FCB＝n°，是否存在正整数m和n，使得∠APH＝m∠FCB，若存在，请求出m和n的值；若不存在，请说明理由．

【例3】（2022春?宜春期末）问题：已知线段AB∥CD，在AB、CD间取一点P（点P不在直线AC上），连接PA、PC，试探索∠APC与∠A、∠C之间的关系．

（1）端点A、C同向：

如图1，点P在直线AC右侧时，∠APC﹣（∠A+∠C）＝度；

如图2，点P在直线AC左侧时，∠APC+（∠A+∠C）＝度；

（2）端点A、C反向：

如图3，点P在直线AC右侧时，∠APC与∠A﹣∠C有怎样的等量关系？写出结论并证明；

如图4，点P在直线AC左侧时，∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝度．

【例4】（2022春?佛山月考）问题情境：

（1）如图1，AB∥CD，∠BAP＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度数．

（提示：如图2，过P作PE∥AB）问题迁移：

（2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝α，∠PCB＝β，α、β、∠DPC之间有何数量关系？请说明理由；

（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出α、β、∠DPC之间的数量关系．（提示：三角形内角和为180°）

培优训练

培优训练

一．选择题

1．（2022春?交口县期末）某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如右图所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中∠ABC+∠BCD的度数始终等于（）度

A．360 B．180 C．250 D．270

2．（2022春?陆河县期末）①如图1，AB∥CD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，AB∥CD，则∠A＝∠P+∠C；③如图3，AB∥CD，则∠A+∠E＝180°+∠1；④如图4，AB∥CD∥EF，则∠α+∠r＝180°+∠β以上结论正确的是（）

A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③

3．（2022春?西湖区校级期中）如图，AB∥CD，点E为AB上方一点，FB、CG分别为∠EFG、∠ECD的角平分线，若∠E+2∠G＝210°，则∠EFG的度数为（）

A．140° B．150° C．130° D．160°

4．（2022春?林州市期末）如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（）

A．β＝α+γ B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β+γ﹣α＝180°

5．（2021春?硚口区月考）如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，GF交A