湘教版高中数学必修第二册课后习题 第2章 2.3 简单的三角恒等变换.docVIP

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2.3简单的三角恒等变换

A级必备知识基础练

1.已知α为第一象限角,且tanα=43,则sinα

A.55 B.-5

C.±55

2.在△ABC中,若cosA=13,则sin2B+C

A.-19 B.19 C.-1

3.已知f(x)=sinx+3cosx,且锐角θ满足f(θ)=2,则θ=.?

4.函数f(x)=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期为.?

B级关键能力提升练

5.若函数f(x)=(1+3tanx)cosx,则fπ12

A.6-22 B.-3

6.(多选题)若θ∈π4,π2,sin2θ=

A.cos2θ=78 B.cos2θ=-

C.tanθ=-37 D.sinθ=3

7.已知等腰三角形的顶角的余弦值等于725

A.34 B.35 C.1

A.?x∈R,sin2x2+cos2

B.?x,y∈R,sin(x-y)=sinx-siny

C.?x∈[0,π],1-

D.若sinx=cosy,则x+y=π

9.(多选题)如果若干个函数的图象经过平移后能够重合,则这些函数为“互为生成函数”.下列函数中,与f(x)=sinx+cosx构成“互为生成函数”的有()

A.f1(x)=2sinx+2

B.f2(x)=2(sinx+cosx)

C.f3(x)=sinx

D.f4(x)=2cosx2sinx2+cosx

10.已知cosx-π6=m,则cosx+cosx-π3=

C级学科素养创新练

11.已知sinA+sinB+sinC=0,cosA+cosB+cosC=0,求证:cos2A+cos2B+cos2C=32

2.3简单的三角恒等变换

1.C因为α为第一象限角,且tanα=43,所以cosα=35,而α2是第一或第三象限角.当α2是第一象限角时,sinα2=1-cosα2=55

2.Asin2B+C2+cos2A=1-cos(B+C)2+2cos2

3.π6因为f(x)=sinx+3cosx=212sinx

所以2sinθ+π3=2,解得θ=

4.πf(x)=sin2x+sinxcosx+1=1-cos2x2+12sin2x+1=12(sin2x-cos2x)+32=22sin

5.D∵f(x)=1+3·sinxcosxcosx=cosx+

∴fπ12=2sinπ12+

6.BD由于θ∈π4,π2,则2θ∈π2,π

所以cos2θ0,sinθ0.

因为sin2θ=37

所以cos2θ=-1-sin22θ=-

所以tan2θ=sin2θcos2θ=3

所以sinθ=1-

7.B设等腰三角形的顶角为α,底角为β,则cosα=725

又β=π2-α2,即cosβ=cosπ2

9.ADf(x)=sinx+cosx=2sinx+π4,∵f1(x)=2sinx+2,∴将f1(x)图象向下平移2个单位长度,再向左平移π4个单位长度即可与f(x)图象重合;f2(x)=2(sinx+cosx)=2×2sinx+π4=2sinx+π4,f2(x)图象无法经过平移与f(x)图象重合;C.f3(x)=sinx,f3(x)图象无法经过平移与f(x)图象重合;f4(x)=2cosx2sinx2+cosx2=2cosx2sinx2+2cos2x2=sinx+cosx+1=2sinx+π4

10.3m因为cosx+cosx-π3=cosx+cosxcosπ3+sinxsinπ3=32cosx+

11.证明由已知,得sinA+sinB=-sinC, ①

cosA+cosB=-cosC. ②

和差化积,得2sinA+B2cosA-

2cosA+B2cosA-

∵当cosA-

∴cosA-B2

③÷④,得tanA+

∴cos(A+B)=1-

①2+②2,得2+2cos(A-B)=1,

即cos(A-B)=-12,∴cos2A+cos2B+cos2

=12

=32

=3

=32