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专题15圆与相似综合

1.如图,△ABC是等腰直角三角形,且AC=BC,P是△ABC外接圆⊙O上的一动点(点P与点C位于直线AB的异侧)连接AP、BP,延长AP到D,使PD=PB,连接BD.

(1)求证:PC∥BD;

(2)若⊙O的半径为2,∠ABP=60°,求CP的长;

(3)随着点P的运动,的值是否会发生变化,若变化,请说明理由;若不变,请给出证明.

2.如图,△ABC内接于⊙O,,点为上的动点,且.

(1)求的长度;

(2)在点D运动的过程中,弦AD的延长线交BC的延长线于点E,问AD?AE的值是否变化?若不变,请求出AD?AE的值;若变化,请说明理由.

(3)在点D的运动过程中,过A点作AH⊥BD,求证:.

3.已知:AB为⊙O的直径,点C为弧AB的中点,点D为⊙O上一点,连接CD,交AB于点M,AE为∠DAM的平分线,交CD于点E.

(1)如图1,连接BE,若∠ACD=22°,求∠MBE的度数;

(2)如图2,连接DO并延长,交⊙O于点F,连接AF,交CD于点N.

①求证:DM2+CN2=CM2;

②如图3,当AD=1,AB=时,请直接写出线段ME的长.

4.如图1所示,以点M(?1,0)为圆心的圆与y轴,x轴分别交于点A,B,C,D,与⊙M相切于点H的直线EF交x轴于点E(,0),交y轴于点F(0,).

(1)求⊙M的半径r;

(2)如图2所示,连接CH,弦HQ交x轴于点P,若cos∠QHC=,求的值;

(3)如图3所示,点P为⊙M上的一个动点,连接PE,PF,求PF+PE的最小值.

5.如图1,在直角坐标系中,直线l与x、y轴分别交于点A(2,0)、B(0,)两点,∠BAO的角平分线交y轴于点D.点C为直线l上一点,以AC为直径的⊙G经过点D,且与x轴交于另一点E.

(1)求出⊙G的半径r,并直接写出点C的坐标;

(2)如图2,若点F为⊙G上的一点,连接AF,且满足∠FEA=45°,请求出EF的长?

6.如图1,内接于,AD是直径,的平分线交BD于H,交于点C,连接DC并延长,交AB的延长线于点E.

????

(1)求证:;

(2)若,求的值

(3)如图2,连接CB并延长,交DA的延长线于点F,若,求的面积.

7.如图,在等腰△ABC中,AC=BC,AB=6,高CD=9,⊙O为△ABC的外接圆,点M是上一动点(不与A,B重合),连接AM,BM.

(1)如图,当射线CM与射线AB交于点E时,求证:△AMC∽△EMB;

(2)求sin∠AMB的值;

(3)当点M在上运动时,求AM?BM的最大值.

8.如图,已知点C在⊙O上,AC=AB,动点P与点C位于直径AB的异侧,点P在半圆弧AB上运动(不与A、B两点重合),连结BP,过点C作直线PB的垂线CD交直线PB于D点,连结CP.

(1)如图1,在点P运动过程中,求∠CPD的度数;

(2)求证:△PCD∽△ABC;

(3)如图2,在点P运动过程中,当CP⊥AB,AC=2时,求△BPC的周长.

9.如图1,点E为△ABC边AB上的一点,⊙O为△BCE的外接圆,点D为上任意一点.若AE=AC=2n,BC=n2-1,BE=n2-2n+1.(n≥2,且n为正整数).

(1)求证:∠CAE+∠CDE=90°;

(2)①如图2,当CD过圆心O时,①将△ACD绕点A顺时针旋转得△AEF,连接DF,请补全图形,猜想CD、DE、DF之间的数量关系,并证明你的猜想;②若n=3,求AD的长.

10.如图,已知,OT是∠MON的平分线,A是射线OM上一点,OA=8cm.动点P从点A出发,以1cm/s的速度沿AO水平向左作匀速运动,与此同时,动点Q从点O出发,也以1cm/s的速度沿ON竖直向上作匀速运动.连接PQ,交OT于点B.经过O、P、Q三点作圆,交OT于点C,连接PC、QC.设运动时间为t(s),其中0<t<8.

(1)求OP+OQ的值;

(2)是否存在实数t,使得线段OB的长度最大?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.

(3)求四边形OPCQ的面积.

11.如图,四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC,BD交于点E.

(1)求证:△AED∽△BEC;

(2)若BD平分∠ABC,求证:CD2=DE?DB;

(3)在(2)小题的条件下,若DE=4,BE=2,过圆心O点,作OF⊥CD于点F,OF=2,求该圆的半径长.

12.如图1,四边形ABCD内接于,对角线AC是的直径,AB,DC的延长线交于点E,.

(1)求证:是等腰三角形;

(2)如图2,若BD平分,求的值;

(3)如图1,若,,求y与x的函数关系式.

13.已知:内接于,过点作,垂足为点,.

(1)如图1,求证:;

(2)如图2,点在上,连接,为中点,连接,.求证:;

(3)如图3,在(2)的条件下,延长、分别交

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