点到直线的距离公式.docxVIP

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2.3.3点到直线的距离公式

教学设计

教学目标

掌会用向量工具推导点到直线的距离公式.

掌握点到直线的距离公式,能应用点到直线距离公式解决有关距离问题.

通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力.

教学重难点

重点：掌握点到直线的距离公式．

难点：能应用点到直线距离公式解决有关距离问题,通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力.

学情分析与教材分析

学情分析：

学生在此之前已学习了两点之间的距离公式、相交直线求交点坐标的方法、线线位置关系，初步掌握了“用代数的方法研究曲线的性质”这一研究平面解析几何问题的重要方法，并且高二的学生已经基本能够从特殊的情况中发现规律，从而推广为一般情况，所以本节课只要做好这种引导工作，学生是比较容易理解的。这也是本节课要突出的“从特殊到一般”的课堂设计的原因，能使学生充分地参与进来，体会到成功的喜悦。

教材分析：

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习点到直线的距离公式。

在前面已经研究了两点间的距离公式、直线方程、两直线的位置关系，同时也介绍了“以数论形，以形辅数”的数学思想方法．“点到直线的距离”是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算；《点到直线的距离》的研究，又为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础，具有承前启后的重要作用．

教学过程

引入新知

学校计划在校园内新建一座小型花园，以提高校园绿化率和美化环境。花园的设计需要考虑多个因素，其中之一就是确保花园边缘与校园内一条主要步行道的适当距离，以保证行人的安全和花园的独立性.

设计团队已经确定了步行道的直线方程和花园边缘上一个关键点P的坐标。现在，他们需要计算这个点P到步行道的最短距离，以确定花园边缘与步行道的最佳间隔.

任务：利用点P的坐标和步行道的直线方程，如何求点P到步行道的最短距离呢？有没有一个数学公式可以直接帮助我们计算得到这个距离？

设计意图：通过创设生活中点到直线距离的问题情境，引出在坐标系下探究点到直线距离公式的问题，帮助学生学会联系旧知，制定解决问题的策略，最终探索出点到直线的距离公式，让学生感悟运用坐标法研究几何问题的方法。

新课探究

回顾：在初中，“点到直线的距离”定义是什么？

学生：回顾初中知识，并得出结论：

定义：直线外一点到直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离.如右图，点P到直线l的距离是垂线段PQ.

探究：如图，已知点，直线，如何求点到直线的距离?

教师：提示：可以考虑用上节课学习的两点间距离公式和求两直线交点坐标方法的知识，解决这个距离问题.

学生：根据教师的提示，得到解决思路，并将该解题思路应用到课堂引入情境中，完成老师布置的任务.

任务：求花园边缘上关键点到步行道的最短距离.

预设：如图，过P作PQ垂直于l，垂足为Q，

因为，以及直线的斜率为，可得的垂线的斜率为，

因此，垂线的方程为，

即．

解方程组①

得直线与的交点坐标，即垂足的坐标为．

于是

即花园边缘上关键点到步行道的最短距离为米.

教师：完成任务是在具体的定点和直线的前提下，现在由特殊到一般情况，将此方法再次应用到以上探究题上，并尝试着完成探究过程，并得到一般化的点到直线的距离公式.

学生：再一次用此方法（坐标法）自行解决“探究”中提出的问题.

预设：设，由，以及直线的斜率为，可得的垂线的斜率为，

因此，垂线的方程为，即．

解方程组①

得直线与的交点坐标，即垂足的坐标为：

．

设计意图：这个推导过程是坐标法的直接体现，思路自然，但运算化简过程稍显繁杂.师生一起做一方面可以给学生起到示范作用，另一方面也让学生掌握这种运算.运算需要训练和积累.

于是

．

．因此，点到直线的距离

．

可以验证，当，或时，上述公式仍然成立．

公式：点到直线的距离公式：

问题1：上述方法中，我们根据点到直线距离的定义，将点到直线的距离转化为两点之间的距离，思路自然但运算量较大．反思求解过程，你发现引起复杂运算的原因了吗?

学生：回顾推导过程，总结产生计算量大的几个步骤

预设：一是求点Q的坐标复杂，二是代入两点间距离公式造成了运算的复杂.

问题2：有何简化运算的方法？

教师：提示：（1）在上述方法中，若设垂足的坐标为，则

．②

对于②式，你能给出它的几何意义吗?

（2）结合方程组①，能否直接求出，进而求出呢?

学生：着手试一试，上述运算思路师生共同探讨分析提出，运算过程由学生自己完成.

预设：（1）几何意义：表示点到原点的距