2025届上海市控江中学高三上学期9月月考数学试卷.docVIP

2025届上海市控江中学高三上学期9月月考数学试卷

一、填空题

(★)1.准线方程为的抛物线标准方程为______．

(★★)2.设集合，，则_____________．

(★)3.函数的最小正周期为____________.

(★★)4.已知事件与事件互斥，且，，则________．

(★★)5.在四面体中，若底面的一个法向量为，且，则顶点到底面的距离为_____________．

(★)6.计算_____________．

(★)7.一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了_____件产品．

(★★)8.已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为____________．

(★★)9.已知圆锥的母线与底面所成的角为，体积为，则圆锥的底面半径为___________．

(★)10.设为定义在R上的奇函数，当时，（b为常数），则______.

(★★)11.已知复平面上一个动点Z对应复数z，若，其中i是虚数单位，则向量扫过的面积为____________．

(★★★)12.设是由正整数组成且项数为的数列，满足当，都有，已知，，则数列任意相邻两项的差的绝对值不超过1，若对于中任意序数不同的两项和，在剩下的项中总存在序数不同的两项和，使得，则的最小值为__________.

二、单选题

(★★)13.如果，则下列不等式中一定成立的是（）

A．

B．

C．

D．

(★★)14.函数在定义域上是（）

A．严格增的奇函数

B．严格增的偶函数

C．严格减的奇函数

D．严格减的偶函数

(★★)15.教材在推导向量的数量积的坐标表示公式“（其中）”的过程中，运用了以下哪些结论作为推理的依据（）

①向量坐标的定义；

②向量数量积的定义；

③向量数量积的交换律；

④向量数量积对数乘的结合律；

⑤向量数量积对加法的分配律．

A．①③④

B．②④⑤

C．①②③⑤

D．①②③④⑤

(★★★)16.已知棱长均为1的正棱柱有个顶点，从中任取两个顶点作为向量的起点与终点，设底面的一条棱为．若集合，则当中的元素个数最少时，的值为（）

A．3

B．4

C．6

D．8

三、解答题

(★★)17.记，其中为实常数．

(1)求函数的最小正周期；

(2)若函数的图像经过点，求该函数在区间上的最大值和最小值．

(★★)18.甲、乙两人每下一盘棋，甲获胜的概率是0.4，甲不输的概率为0.9．

(1)若甲、乙两人下一盘棋，求他们下成和棋的概率；

(2)若甲、乙两人连下两盘棋，假设两盘棋之间的胜负互不影响，求甲至少获胜一盘的概率．

(★★★)19.如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．

(1)证明：；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

(★★★)20.已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上一点．

(1)求双曲线的离心率；

(2)设过点和的直线与双曲线的右支有另一交点为，求的取值范围；

(3)过点分别作双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、两点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

(★★★)21.已知函数，，其中为常数.

(1)当时，试判断的单调性；

(2)若在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；

(3)设函数，当时，若存在，对任意的，总有成立，求实数m的取值范围.