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2025届上海市控江中学高三上学期9月月考数学试卷
一、填空题
(★)1.准线方程为的抛物线标准方程为______.
(★★)2.设集合,,则_____________.
(★)3.函数的最小正周期为____________.
(★★)4.已知事件与事件互斥,且,,则________.
(★★)5.在四面体中,若底面的一个法向量为,且,则顶点到底面的距离为_____________.
(★)6.计算_____________.
(★)7.一工厂生产了某种产品16800件,它们来自甲、乙、丙3条生产线,为检查这批产品的质量,决定采用分层抽样的方法进行抽样,已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列,则乙生产线生产了_____件产品.
(★★)8.已知向量,向量,则向量在向量上的投影向量为____________.
(★★)9.已知圆锥的母线与底面所成的角为,体积为,则圆锥的底面半径为___________.
(★)10.设为定义在R上的奇函数,当时,(b为常数),则______.
(★★)11.已知复平面上一个动点Z对应复数z,若,其中i是虚数单位,则向量扫过的面积为____________.
(★★★)12.设是由正整数组成且项数为的数列,满足当,都有,已知,,则数列任意相邻两项的差的绝对值不超过1,若对于中任意序数不同的两项和,在剩下的项中总存在序数不同的两项和,使得,则的最小值为__________.
二、单选题
(★★)13.如果,则下列不等式中一定成立的是()
A.
B.
C.
D.
(★★)14.函数在定义域上是()
A.严格增的奇函数
B.严格增的偶函数
C.严格减的奇函数
D.严格减的偶函数
(★★)15.教材在推导向量的数量积的坐标表示公式“(其中)”的过程中,运用了以下哪些结论作为推理的依据()
①向量坐标的定义;
②向量数量积的定义;
③向量数量积的交换律;
④向量数量积对数乘的结合律;
⑤向量数量积对加法的分配律.
A.①③④
B.②④⑤
C.①②③⑤
D.①②③④⑤
(★★★)16.已知棱长均为1的正棱柱有个顶点,从中任取两个顶点作为向量的起点与终点,设底面的一条棱为.若集合,则当中的元素个数最少时,的值为()
A.3
B.4
C.6
D.8
三、解答题
(★★)17.记,其中为实常数.
(1)求函数的最小正周期;
(2)若函数的图像经过点,求该函数在区间上的最大值和最小值.
(★★)18.甲、乙两人每下一盘棋,甲获胜的概率是0.4,甲不输的概率为0.9.
(1)若甲、乙两人下一盘棋,求他们下成和棋的概率;
(2)若甲、乙两人连下两盘棋,假设两盘棋之间的胜负互不影响,求甲至少获胜一盘的概率.
(★★★)19.如图,已知和都是直角梯形,,,,,,,二面角的平面角为.设M,N分别为的中点.
(1)证明:;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
(★★★)20.已知双曲线的左、右焦点分别为、,为双曲线右支上一点.
(1)求双曲线的离心率;
(2)设过点和的直线与双曲线的右支有另一交点为,求的取值范围;
(3)过点分别作双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为、两点,是否存在点,使得?若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由.
(★★★)21.已知函数,,其中为常数.
(1)当时,试判断的单调性;
(2)若在其定义域内为增函数,求实数a的取值范围;
(3)设函数,当时,若存在,对任意的,总有成立,求实数m的取值范围.
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