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2025届上海市上海交通大学附属中学高三上学期9月月考数学试卷
一、填空题
(★)1.已知集合,,则____.
(★★)2.i为虚数单位,若复数,则______
(★)3.已知,则___________.
(★)4.将个数据按照从小到大的顺序排列如下:,若该组数据的分位数为22,则______________.
(★)5.若,,且,则______.
(★)6.已知向量的夹角为,且,,则______.
(★★)7.无穷数列满足,,则其所有项和______.
(★★)8.燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬.专家发现:两岁燕子的飞行速度可以表示为(米/秒),若某只两岁的燕子耗氧量为时的飞行速度为(米/秒),另一只两岁的燕子耗氧量为时的飞行速度为(米/秒),两只燕子同时起飞,当时,一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为______米
(★)9.已知抛物线的准线为,若以此抛物线上一点为圆心的圆既与相切,又与轴相切,则所得圆的半径为_____________.
(★★★)10.已知,是正实数,且关于,的方程有解,则实数的取值范围是______.
(★★★)11.设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数,且元素中任意两个不同元素之积皆为偶数,求集合中元素个数的最大值______.
(★★★)12.在直角坐标平面中,已知两定点与位于动直线l:的同侧,设集合点与点到直线l的距离之差等于,,记,,则由T中的所有点所组成的图形的面积是__________
二、单选题
(★)13.在空间四边形中,()
A.
B.
C.
D.
(★)14.已知,设,则与的值的大小关系是()
A.
B.
C.
D.
(★★★)15.有5张相同的卡片,分别标有数字,从中有放回地随机取两次,每次取1张卡片,表示事件“第一次取出的卡片上的数字为2”,表示事件“第一次取出的卡片上的数字为奇数”,表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”,表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为”,则()
A.与为对立事件
B.与为相互独立事件
C.与为相互独立事件
D.与为互斥事件
(★★★)16.定义集合,在使得的所有中,下列成立的是()
A.存在是偶函数
B.存在在处取最大值
C.存在严格增
D.存在在处取到极小值
三、解答题
(★★★)17.如图,在三棱柱中,底面,,,,,点,分别为与的中点.
(1)证明:平面;
(2)求二面角的平面角的正切值.
(★★★)18.已知在锐角中,三边的对角分别为,且
(1)求角的值;
(2)若,求的周长的取值范围.
(★★★)19.在一次招聘会上,应聘者小李被甲、乙两家公司同时意向录取.甲公司给出的工资标准:第一年的年薪为4.2万元,以后每年的年薪比上一年增加6000元;乙公司给出的工资标准:第一年的年薪为4.8万元,以后每年的年薪比上一年增加8%.
(1)若小李在乙公司连续工作5年,则他在第5年的年薪是多少万元?
(2)为了吸引小李的加盟,乙公司决定在原有工资的基础上每年固定增加交通补贴0.72万元.那么小李在甲公司至少要连续工作几年,他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入?
(★★★★★)20.设A,B是双曲线H:上的两点.直线l与双曲线H的交点为P,Q两点.
(1)若双曲线H的离心率是,且点在双曲线H上,求双曲线H的方程;
(2)设A、B分别是双曲线H:的左、右顶点,直线l平行于y轴.求直线AP与BQ斜率的乘积,并求直线AP与BQ的交点M的轨迹方程;
(3)设双曲线H:,其中,,点M是抛物线C:上不同于点A、B的动点,且直线MA与双曲线H相交于另一点P,直线MB与双曲线H相交于另一点Q,问:直线PQ是否恒过某一定点?若是,求该定点的坐标;若不是,请说明理由.
(★★★★)21.若函数的图像上有两个不同点处的切线重合,则称该切线为函数的图像的“自公切线”.
(1)试判断函数与的图像是否存在“自公切线”(不需要说明理由);
(2)若,求函数的图像的“自公切线”方程;
(3)设,求证:函数的图像不存在“自公切线”
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