2025届上海市上海交通大学附属中学高三上学期9月月考数学试卷.docVIP

2025届上海市上海交通大学附属中学高三上学期9月月考数学试卷

一、填空题

(★)1.已知集合，，则____．

(★★)2.i为虚数单位，若复数，则______

(★)3.已知，则___________．

(★)4.将个数据按照从小到大的顺序排列如下:，若该组数据的分位数为22，则______________．

(★)5.若，，且，则______.

(★)6.已知向量的夹角为，且，，则______．

(★★)7.无穷数列满足，，则其所有项和______．

(★★)8.燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．专家发现：两岁燕子的飞行速度可以表示为（米/秒），若某只两岁的燕子耗氧量为时的飞行速度为（米/秒），另一只两岁的燕子耗氧量为时的飞行速度为（米/秒），两只燕子同时起飞，当时，一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为______米

(★)9.已知抛物线的准线为，若以此抛物线上一点为圆心的圆既与相切，又与轴相切，则所得圆的半径为_____________.

(★★★)10.已知，是正实数，且关于，的方程有解，则实数的取值范围是______.

(★★★)11.设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两个不同元素之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值______．

(★★★)12.在直角坐标平面中，已知两定点与位于动直线l：的同侧，设集合点与点到直线l的距离之差等于，，记，，则由T中的所有点所组成的图形的面积是__________

二、单选题

(★)13.在空间四边形中，（）

A．

B．

C．

D．

(★)14.已知，设，则与的值的大小关系是（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)15.有5张相同的卡片，分别标有数字，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为奇数”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为”，则（）

A．与为对立事件

B．与为相互独立事件

C．与为相互独立事件

D．与为互斥事件

(★★★)16.定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（）

A．存在是偶函数

B．存在在处取最大值

C．存在严格增

D．存在在处取到极小值

三、解答题

(★★★)17.如图，在三棱柱中，底面，，，，，点，分别为与的中点.

(1)证明：平面；

(2)求二面角的平面角的正切值.

(★★★)18.已知在锐角中，三边的对角分别为，且

(1)求角的值；

(2)若，求的周长的取值范围．

(★★★)19.在一次招聘会上，应聘者小李被甲、乙两家公司同时意向录取．甲公司给出的工资标准：第一年的年薪为4．2万元，以后每年的年薪比上一年增加6000元；乙公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.8万元，以后每年的年薪比上一年增加8%．

(1)若小李在乙公司连续工作5年，则他在第5年的年薪是多少万元？

(2)为了吸引小李的加盟，乙公司决定在原有工资的基础上每年固定增加交通补贴0.72万元．那么小李在甲公司至少要连续工作几年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入？

(★★★★★)20.设A，B是双曲线H：上的两点．直线l与双曲线H的交点为P，Q两点．

(1)若双曲线H的离心率是，且点在双曲线H上，求双曲线H的方程；

(2)设A、B分别是双曲线H：的左、右顶点，直线l平行于y轴．求直线AP与BQ斜率的乘积，并求直线AP与BQ的交点M的轨迹方程；

(3)设双曲线H：，其中，，点M是抛物线C：上不同于点A、B的动点，且直线MA与双曲线H相交于另一点P，直线MB与双曲线H相交于另一点Q，问：直线PQ是否恒过某一定点？若是，求该定点的坐标；若不是，请说明理由．

(★★★★)21.若函数的图像上有两个不同点处的切线重合，则称该切线为函数的图像的“自公切线”.

(1)试判断函数与的图像是否存在“自公切线”（不需要说明理由）；

(2)若，求函数的图像的“自公切线”方程；

(3)设，求证：函数的图像不存在“自公切线”