2025届云南省昆明市第九中学高三上学期开学质量监测数学试卷.docVIP

2025届云南省昆明市第九中学高三上学期开学质量监测数学试卷

一、单选题

(★)1.已知集合则（）

A．

B．

C．

D．

(★)2.设为抛物线的焦点，若点在上，则（）

A．3

B．

C．

D．

(★★)3.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，则该四棱锥外接球的体积为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)4.已知等比数列中，则其前项的和的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

(★★)5.甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)6.莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛．如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为菜洛三角形，已知正三角形ABC的边长为1，点P为的中点，则的值为（）

A．1

B．

C．

D．

(★★★)7.设A，B是两个随机事件，且，，则下列正确的是（）

A．若，则A与B相互独立

B．

C．

D．A与B有可能是对立事件

(★★★★)8.已知双曲线的左右焦点分别为，过点且与渐近线垂直的直线与双曲线左右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（）

A．

B．

C．

D．

二、多选题

(★)9.已知向量，其中均为正数，且，下列说法正确的是（）

A．与的夹角为钝角

B．向量在方向上的投影为

C．

D．的最大值为2

(★★)10.已知函数的最小正周期为，则（）

A．的最大值为2

B．在上单调递增

C．的图象关于点中心对称

D．的图象可由的图象向右平移个单位得到

(★★★★)11.设函数，则（）

A．当时，有三个零点

B．当时，是的极大值点

C．存在a，b，使得为曲线的对称轴

D．存在a，使得点为曲线的对称中心

三、填空题

(★★)12.已知复数在复平面内对应的点的横坐标为2，则______.

(★★★)13.我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，，记作数列，则_________；若数列的前项和为，则_________.

(★★★★)14.已知圆，过点作不过圆心的直线交圆于两点，则面积的最大值是__________.

四、解答题

(★★★)15.如图，三棱柱中，，，，点为的中点，且.

(1)求证：平面；

(2)若为正三角形，求与平面所成角的正弦值.

(★★★)16.已知函数．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若有极小值，且极小值大于，求a的取值范围．

(★★★)17.在平面直角坐标系中，已知点，动点满足直线与直线的斜率之积为，设点的轨迹为曲线.

(1)求的方程；

(2)已知点，直线与轴交于点，直线与交于点，证明：.

(★★★)18.设某幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得的一些数据如下表所示：

第天

1

4

9

16

25

36

49

高度

0

4

7

9

11

12

13

作出这组数据的散点图发现：与（天）之间近似满足关系式，其中，均为大于0的常数．

(1)试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对，作出估计，并求出关于的经验回归方程；

(2)在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的4个点，记这4个点中幼苗的高度大于的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望．

附：对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．

(★★★★)19.对于，若数列满足，则称这个数列为“K数列”．

(1)已知数列1，2m，是“K数列”，求实数m的取值范围．

(2)是否存在首项为的等差数列为“K数列”，且其前n项和使得恒成立?若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．

(3)已知各项均为正整数的等比数列是“K数列”，数列不是“K数列”，若，试判断