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2025届云南省昆明市第九中学高三上学期开学质量监测数学试卷
一、单选题
(★)1.已知集合则()
A.
B.
C.
D.
(★)2.设为抛物线的焦点,若点在上,则()
A.3
B.
C.
D.
(★★)3.如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面,,则该四棱锥外接球的体积为()
A.
B.
C.
D.
(★★)4.已知等比数列中,则其前项的和的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
(★★)5.甲、乙、丙、丁四人排成一列,则丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是()
A.
B.
C.
D.
(★★★)6.莱洛三角形,也称圆弧三角形,是一种特殊三角形,在建筑、工业上应用广泛.如图所示,分别以正三角形ABC的顶点为圆心,以边长为半径作圆弧,由这三段圆弧组成的曲边三角形即为菜洛三角形,已知正三角形ABC的边长为1,点P为的中点,则的值为()
A.1
B.
C.
D.
(★★★)7.设A,B是两个随机事件,且,,则下列正确的是()
A.若,则A与B相互独立
B.
C.
D.A与B有可能是对立事件
(★★★★)8.已知双曲线的左右焦点分别为,过点且与渐近线垂直的直线与双曲线左右两支分别交于两点,若,则双曲线的离心率为()
A.
B.
C.
D.
二、多选题
(★)9.已知向量,其中均为正数,且,下列说法正确的是()
A.与的夹角为钝角
B.向量在方向上的投影为
C.
D.的最大值为2
(★★)10.已知函数的最小正周期为,则()
A.的最大值为2
B.在上单调递增
C.的图象关于点中心对称
D.的图象可由的图象向右平移个单位得到
(★★★★)11.设函数,则()
A.当时,有三个零点
B.当时,是的极大值点
C.存在a,b,使得为曲线的对称轴
D.存在a,使得点为曲线的对称中心
三、填空题
(★★)12.已知复数在复平面内对应的点的横坐标为2,则______.
(★★★)13.我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律,现把杨辉三角中的数从上到下,从左到右依次排列,得数列:1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,,记作数列,则_________;若数列的前项和为,则_________.
(★★★★)14.已知圆,过点作不过圆心的直线交圆于两点,则面积的最大值是__________.
四、解答题
(★★★)15.如图,三棱柱中,,,,点为的中点,且.
(1)求证:平面;
(2)若为正三角形,求与平面所成角的正弦值.
(★★★)16.已知函数.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)若有极小值,且极小值大于,求a的取值范围.
(★★★)17.在平面直角坐标系中,已知点,动点满足直线与直线的斜率之积为,设点的轨迹为曲线.
(1)求的方程;
(2)已知点,直线与轴交于点,直线与交于点,证明:.
(★★★)18.设某幼苗从观察之日起,第天的高度为,测得的一些数据如下表所示:
第天
1
4
9
16
25
36
49
高度
0
4
7
9
11
12
13
作出这组数据的散点图发现:与(天)之间近似满足关系式,其中,均为大于0的常数.
(1)试借助一元线性回归模型,根据所给数据,用最小二乘法对,作出估计,并求出关于的经验回归方程;
(2)在作出的这组数据的散点图中,甲同学随机圈取了其中的4个点,记这4个点中幼苗的高度大于的点的个数为,其中为表格中所给的幼苗高度的平均数,试求随机变量的分布列和数学期望.
附:对于一组数据,,…,,其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为,.
(★★★★)19.对于,若数列满足,则称这个数列为“K数列”.
(1)已知数列1,2m,是“K数列”,求实数m的取值范围.
(2)是否存在首项为的等差数列为“K数列”,且其前n项和使得恒成立?若存在,求出数列的通项公式;若不存在,请说明理由.
(3)已知各项均为正整数的等比数列是“K数列”,数列不是“K数列”,若,试判断
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